【数学】2015年高考真题——上海卷（理）（word版含解析）

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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集．若集合，，则．2．若复数满足，其中为虚数单位，则．3．若线性方程组的增广矩阵为、解为，则．4．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．5．抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则．6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为．7.方程的解为．8.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示

2、）．9.已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为．10.设为，的反函数，则的最大值为．11.在的展开式中，项的系数为（结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有，，，，的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和9分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则（元）．13.已知函数．若存在，，，满足，且（，），则的最小值为．14.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和

3、．过作于，于，则．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）A．B．C．D．17．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程

4、①无实根，且②无实根18．设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．919.（本题满分12分）如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙

5、到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，记得到的平行四边形的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；9（2）设与的斜率之积为，求面积的值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的

6、取值范围，使得有最大值与最小值，且.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为.设单调递增，，.（1）验证是以为周期的余弦周期函数；（2）设．证明对任意，存在，使得；（3）证明：“为方程在上得解”的充要条件是“为方程在上有解”，并证明对任意都有.9上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题）1.2.3.164.45.26.7.28.1209.10.411.4512.0.213.81

7、4.二、（第15至18题）题号15161718代号BDBA三、（第19至23题）19.解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A1(2，0，1)、C1(0，2，1)、E(2，1，0)、F（1，2,0）、C（0、2、0）、D（0,0,1）.因为，，所以，因此直线与共面，即，、、、四点共面.设平面的法向量为，则⊥，⊥，又，=,故取u=1，则平面的一个法向量=.又,故9因此直线与平面所成的角的大小.20.解：（1），设乙到C时甲所在地为D，则AD=千米。在△ACD中，,所以（千米