【数学】广东省惠州市华罗庚中学2013-2014学年高二第二学期期中考试（理）

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1、高二下学期理科数学中段考试题目第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则()A．B．C．D．2.是虚数单位，复数的实部为()A．B．C．D．3.设是等差数列的前项和，,则()A．B．C．D．4.是直线和直线平行的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件正视图俯视图左视图5.函数是（）A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个

2、几何体的表面积是()A．B．C．D．7.从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A．210B．420C．630D．8408.已知函数对定义域内的任意都有，且当时其导函数满足若则()A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,满分30分．9.已知向量，，如果与垂直，那么实数的值为___;910.若抛物线上一点M到该抛物线的焦点F的距离，则点M到x轴的距离为_______________;11.若;12.已知满足约束条件,则目标函数的

3、最大值是;13．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则a=__________;14．观察下列等式：，，，，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于，．第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数。（I）求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设的内角的对边分别为，且sinB-2sinA=0，求。16．（本小题满分12分）某学校举行“科普与环保知识竞赛”，并从中抽取了部分学生的成绩（均为整数），所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为

4、1：92：3，第4小组与第5小组的频率分别是0.175和0.075，第2小组的频数为10.（Ⅰ）求所抽取学生的总人数，并估计这次竞赛的优秀率（分数大于80分）；（Ⅱ）从成绩落在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一组的概率.17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.18．(本小题满分14分)如图，设是椭圆的左焦点，直线为对应的准线，直线与轴交于点，为椭圆的长轴，已知，且．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求证：对于任意的割线，恒有；（Ⅲ）求三角形△ABF面积的最大值.

5、19.(本小题满分14分)已知数列中，，对于，以为系数的一元二次方程都有实数根，且满足.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求的前项和.920．(本小题满分14分)设函数.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）设，讨论函数的单调性；（Ⅲ）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.9第二学期期中考答案一:选择题12345678BCCABACC二:填空题:9.-13;10.411.3+ln212.413.314.15.解:（Ⅰ）16.解：（Ⅰ）设第一小组的频率为，则，解得.第二小组的频数为10，得抽取顾客的总人数为人.----------

6、--3分依题意,分数大于80分的学生所在的第四、第五小组的频率和为，所以估计本次竞赛的优秀率为.-------------6分（Ⅱ）落在和的学生数分别为；.----7分落在的学生设为：；落在的学生设为：，则从这8人中任取两人的基本事件为：9,共28个基本事件；--------------10分其中“成绩落在同一组”包括共包含13个基本事件，故所求概率为.------------12分方法二:排列组合17.解：（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，，且，从而．所以为直角三角形，．又．所以平面．………6分（Ⅱ）解法一：取

7、中点，连结，由（Ⅰ）知，得．为二面角的平面角．由得平面．所以，又，故．所以二面角的余弦值为………………14分解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．设，则．9的中点，．．故等于二面角的平面角．……10分，所以二面角的余弦值为．………14分18.解：（Ⅰ）由题意得：，，代入整理得：，-----------------4分当时方程无实数根，∴，由等比数列的定义知：是以为首项，公比为的等比数列.-----------6分（Ⅱ）由（1）知，∴.---------------9分（Ⅲ）.-----14分19.（Ⅰ）解：

8、∵，∴，又∵，∴，∴，∴椭圆的标准方程为．…………3分（Ⅱ）证：当的斜率为0时，显然，满足题意，当的斜率不为0时，设方程为，代入椭圆方程整理得：．，，．9则，而∴，