2019版高考数学一轮复习训练： 矩阵与变换课时训练 选修4-2

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1、2019版高考数学一轮复习训练选修42　矩阵与变换第1课时　线性变换、二阶矩阵及其乘法1.已知矩阵A＝，B＝满足AX＝B，求矩阵X.解：设X＝，由＝得解得所以X＝.2.已知变换矩阵A：平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0，5)，求变换矩阵A.解：设所求的变换矩阵A＝，依题意，可得＝及＝，即解得所以所求的变换矩阵A＝.3.已知M＝，N＝，求二阶矩阵X，使MX＝N.解：设X＝，由题意有＝，根据矩阵乘法法则有解得∴X＝.4.曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝的作用下变换为曲线x2－2y2＝1，求实数a，b的值．解：设P(x，

2、y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋4xy＋2y2＝1上与P对应的点，则＝，即代入x2－2y2＝1得(x′＋ay′)2－2(bx′＋y′)2＝1，整理得(1－2b2)x′2＋(2a－4b)x′y′＋(a2－2)y′2＝1，又x′2＋4x′y′＋2y′2＝1，所以解得5.(2017·扬州中学期初)已知点M(3,－1)绕原点按逆时针旋转90°后，在矩阵A＝对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a，b的值．解：由题意，＝，又＝，所以解得62019版高考数学一轮复习训练6.已知曲线C:y2＝2x在矩阵M＝对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩

3、阵N＝对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．解：设A＝NM，则A＝＝，设P′(x′，y′)是曲线C上任一点，在两次变换作用下，在曲线C2上的对应点为P(x,y)，则＝＝，即∴又点P′(x′，y′)在曲线C:y2＝2x上，∴2＝2y，即曲线C2的方程为y＝x2.7.设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.求实数a，b的值．解：设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换作用下得到点P′(x′，y′)，则＝＝，所以因为x′2＋y′2＝1，所以(ax)2＋(bx＋y)2＝1，即(a2＋b2

4、)x2＋2bxy＋y2＝1，所以解得8.求圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下所得的曲线的方程．解：设圆C上任一点(x1，y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x，y)，则＝，则x1＝，y1＝，代入x2＋y2＝1得所求曲线的方程为＋＝1.9.已知矩阵A＝，B＝.若矩阵AB对应的变换把直线l：x＋y－2＝0变为直线l′，求直线l′的方程．解：∵A＝，B＝，∴AB＝＝.在直线l′上任取一点P(x，y)，设它是由l上的点P0(x0，y0)经矩阵AB所对应的变换作用所得，∵点P0(x0，y0)在直线l：x＋y－2＝0上，∴x0＋y0－2＝0　①.又AB＝，即＝，∴∴

5、　②.62019版高考数学一轮复习训练将②代入①得x－y＋y－2＝0，即4x＋y－8＝0，∴直线l′的方程为4x＋y－8＝0.10.在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，3)在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(y－4，y＋2)，求M2.解：依题意，＝，即解得M2＝＝，所以M2＝＝.11.已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1，求实数m的值．解：BA＝＝，设P(x0，y0)是曲线C1上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点P′(x′，y′)，则＝＝，则即又点P在曲线C1上，则y′2＋＝1，所以m2＝1，

6、所以m＝±1.第2课时　逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1.已知变换T：→＝，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A－1.解：由T：→＝，得A＝.设A－1＝，则AA－1＝＝＝，所以解得所以A－1＝.2.(2017·苏北四市期末)已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝.求实数a，b的值．解：由条件知，Aα＝2α，即＝2，即＝，所以解得3.(2017·扬州期末)已知a，b∈R，若点M(1，－2)在矩阵A＝62019版高考数学一轮复习训练对应的变换作用下得到点N(2，－7)，求矩阵A的特征值．解：由题意得＝，即解得所以A＝，所以矩阵A的特征多项式

7、为f(λ)＝＝λ2－8λ＋15.令f(λ)＝0，解得λ＝5或λ＝3，即矩阵A的特征值为5和3.4.已知二阶矩阵A＝，矩阵A属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝，求矩阵A.解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1＝λ1α1，即＝－1×，得同理可得解得因此矩阵A＝.5.已知矩阵A＝，A的逆矩阵A－1＝，求A的特征值．解：∵AA－1＝,∴＝，则解得∴A＝，A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)(λ－1)．令f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝1.∴A的特征值为3和1.6.已知矩阵A＝.若矩阵A属于特征值3的一个特征向量