【数学】广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试（理）

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1、湛江第一中学2015—2016学年度第一学期期末考试高二级理科数学试题考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题p：{1}∈{1,2,3}，q：{3}{1,2,3}，则在命题：①p∧q；②p∨q；③p；④q中，真命题的个数是（）．A．1B．2C．3D．42．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，a3＝5，Sk＋2－Sk＝36，则k的值为（）A．8B．7C．6D．53．设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：≤，则p是q成立的（）A.必要不充分条件B.充分

2、不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线5.已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值（）A．B．－C．5D．－56．如图，在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．75°7．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值

3、范围是（）A．(-2，0)B．(-∞，-2)∪(1，＋∞)C．(-2，1)D．(-∞，-4)∪(2，＋∞)8．已知双曲线x2－y2＝4左支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为，则a＋b的值为（）A．2B．－2C．4D．－49．椭圆＋＝1上有两个动点P、Q，E(3，0)，EP⊥EQ，则·的最小值为（）A．6B．3－C．9D．12－610．已知二元一次不等式组所表示的平面区域为M.若M与圆(x－4)2＋(y－1)2＝a(a>0)至少有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A．B．(1，5)C．D．(1，5]11．已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，则

4、满足条件的圆锥曲线的个数为（）A．4B．3C．2D．112．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p的值为A．1B．C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。13．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/小时．14．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点．若＝8a，则双曲线的离心率e

5、的取值范围是________．15．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，那么a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足a＋a＋…＋a＝1时,你能得到的结论为________(不必证明)．16．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值等于三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

6、．17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C＋2cosC＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝a，△ABC的面积为sinAsinB，求sinA及c的值．18．(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝1－，其中n∈N*.(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，求证：Tn<3．19．(本小题满分12分)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的

7、方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若二面角MQBC为30°，求线段PM与线段MC的比值t．21．(本小题满分12分)已知正数数列{xn}满足x1＝，