金融市场的布朗运动的发展与状况

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1、金融市场布朗运动研究的发展与状况马金龙1,2马非特2（1．中国科学院广州地球化学研究所，广东广州，510640,2.长沙非线性特别动力工作室，湖南长沙，410013）摘要布朗运动的理论构筑了主流金融经济学（数理金融学）的完整体系；分数布朗运动为在复杂系统科学体系下揭示金融市场价格波动的规律创造了契机；而基于复杂系统科学的有限尺度布朗运动为进行金融市场交易价格波动投机指明了方向。关键词金融市场，布朗运动，分形，分数布朗运动，有限尺度布朗运动1布朗运动及其在金融市场的应用1.1布朗运动布朗运动指的是一种无相关性的随机行走，满足统计

2、自相似性,即具有随机分形的特征，但其时间函数(运动轨迹)却是自仿射的。具有以下主要特性：粒子的运动由平移及其转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线；粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此；粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼；粒子的成分及密度对其运动没有影响；粒子的运动永不停止。原始意义的布朗运动(Brownianmotion，BM)是RobertBrown于1827年提出，系指液体中悬浮微粒的无规则运动,直至1877年才由J.德耳索作出了正确的定性分析：布朗粒

3、子的运动，实际上是由于受到周围液体分子的不平衡碰撞所引起的。1905年，A.爱因斯坦对这种“无规则运动”作了物理分析，成为布朗运动的动力论的先驱，并首次提出了布朗运动的数学模型。1908年，P.朗之万在研究布朗运动的涨落现象时,给出了物理学中第一个随机微分方程。1923年，诺伯特‧维纳(NorbertWiener)提出了在布朗运动空间上定义测度与积分，从而形成了Wiener空间的概念，并对布朗运动作出了严格的数学定义，根据这一定义，布朗运动是一种独立增量过程，是一个具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程(Stochastic

4、Process)。它是这样的随机过程中最简单，最重要的特例。因而维纳过程是马尔科夫过程(Markovprocess)的一种特殊形式，而马尔科夫过程又是一种特殊类型的随机过程。数学界也常把布朗运动称为维纳过程(WienerProcess)。不久，PaulLevy及后来的研究者将布朗运动发展成目前的巨构，如稳定的Levy分布。20世纪40年代，日本数学家伊藤清(ItoKiyosi)发展了维纳的研究成果，建立了带有布朗运动干扰项B(t)的随机微分方程。1990年,彭实戈－E.巴赫杜(Pardoux)进一步提出了一大类可解的倒向随机微

5、分方程，并给出方程解的一般形式，它可看成是Black-Scholes公式的一般化。总之，如今布朗运动在理论上与应用上已与帕松过程(Poissonprocess)构成了两种最基本的随机过程。71.2布朗运动在金融市场的应用将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。1900年法国的巴施利叶（LouisBachelier）在博士论文《投机理论》中将股

6、票价格的涨跌也看作是一种随机运动，所得到的方程与描述布朗粒子运动的方程非常相似。第一次给予布朗运动以严格的数学描述。但由此得到的股票价格可能取负值，显然与实际不符。遗憾的是，他的工作在当时并未引起重视，直到半个世纪后人们才发现其工作的重要性，从而开创了理论金融经济学新时代。Markowiz(1952)发表投资组合选择理论；Arrow和Denreu(1954)提出一般经济均衡存在定理；Roberts和Osborne(1959)把随机数游走和布朗运动的概念带入股市研究；以及稍后的Sharpe(1964)和Linther(1965)

7、、Mossin(1966)等的资本资产定价模型(CAPM)；Samuelson和Fama(1970)的有效市场理论(EMH)；FischerBlack和Scholes(1973)和Merton(1973,1992)的期权定价理论（Black-Scholes模型）；Ross(1976)的套利定价理论(APT)。至此，源于布朗运动的理论金融经济学（数理金融学）的大厦（体系）就完全成形。布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未

8、来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立