半导体物理课件课件

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1、2.2器件模拟技术中常用的迭代法上节介绍了用有限差分法解微分方程的方法：将微分方程离散成网格点上的有限差分式，转变成为代数方程式(即利用有限差分法，能将解微分方程的问题转变为解代数方程的问题)；根据微分方程是否为线性，可将代数方程式分为线性代数方程组和非线性代数方程组；线性代数方程组原则上都可以用Gauss消去法求解。但是在实际问题中，方程组的数量很大，而且系数矩阵属于稀疏矩阵，有很多零元素，因此在计算机上解1迭代法(逐步逼近法)不用存储系数矩阵中的零元素，计算程序比较简单，适用于高阶系数矩阵的问题；

2、解线性、非线性方程组的迭代法有很多种，本节只介绍器件模拟中常用的几种。线性方程组时，Gauss消去法需要占用大量的存储单元，一般不予采用；22.2.1Gauss-Seidel法2.2.2超松弛(SOR)法2.2.3非线性方程组的Newton迭代法3线性方程组：一、三个未知数的线性方程组2.2.1Gauss-Seidel法(2-47)(2-46)(2-48)的系数矩阵非奇异，且对角线矩阵元素a11、a22、a33都不为零。将上述各式分别改写为：(2-50)(2-49)(2-51)4将初始解代入式(2-4

3、9)：选择一组试探性的初始解进行迭代：(2-52)迭代得到新的x1；将新得到的与初始解中的代入式(2-50)：迭代得到新的x2；(2-53)一次迭代循环：5将新得到的与代入式(2-51)：(2-54)迭代得到新的x3；至此，完成了一次迭代循环。然后用新得到的：置换初始解：开始新的循环；678(2-57)9该方程组的准确解为：x1=x2=x3=1；用Gauss-Seidel迭代法求解：选定初始解为：设三元方程组为：三举例(2-58)据式(2-49)~(2-51)：10将初始解按式(2-52)~(2-54

4、)的方法代入，得一次迭代的结果为：得：11若取小数点后4位，则用5次迭代就可以求得解，结果如表2.1；1213四终止迭代运算的判据迭代法由初始试探解逐步逼近到准确解，一般迭代次数越多，得到的解准确度也越高；准确程度可以根据问题的要求确定。计算机运算时，典型的做法是：(2-59)根据问题的要求，指定一个很小的正数ε，如果：就认为达到了准确解，可以停止运算。14对于含有3个变量、3个方程的Gauss-Seidel迭代方程式(2-55)：一SOR迭代式2.2.2超松弛(SOR)法应用迭代法解方程组，关键是要

5、确定迭代过程是收敛的，并且要设法加快收敛速度。超松弛(SuccessiveOverRelaxation，SOR)法是在Gauss-Seidel基础上发展起来的方法，其特点是能够加快收敛速度。15(2-60)可以写成：16其变化量就是等式右边中括号内的量，称为迭代校正量由上式可知，用Gauss-Seidel迭代法，从k-1次再迭代一次，解的数值变化是：既然两次迭代的结果相差为校正量，则可以在校正量上乘一加速因子ω来加快迭代过程的收敛，即：(2-61)17称为含有三个变量、三个方程时的SOR迭代公式；(2

6、-62)对于n个变量的Gauss-Seidel迭代一般式(2-57)：可以写成；则SOR迭代一般式为：18(2-63)二加速因子ω也称为松弛因子，其值一般为：当ω=1时，SOR法就是Gauss-Seidel迭代法；适当选择ω值能显著加快收敛速度。如，对于方程组：(2-64)19选择最佳松弛因子具有重要意义，但一般来说相当困难尽管在某些条件下，已经推出了计算公式，但由于不易确定其中的每个参数，实际上不便引用；选用不同的加速因子ω，其迭代次数如表2.2所示，ω=1.3时最佳；选择松弛因子：20实际中经常采

7、用试算的方法。即从同一个初始向量出发取不同的松弛因子，迭代相同次数，比较其残余向量：(2-65)其中，A是系数矩阵。弃去较大的松弛因子；这种方法简单易行，且往往有效；在松弛法中，当ω<1时，称为低松弛法；21三松弛法分类上述超松弛法中，每次只修改一个变量，称为点超松弛(SPOR)法；也可以对系数矩阵分块计算，每次同时修改几个变量，称为块超松弛(SBOR)法；如果对系数矩阵按行或列来分块，则称为线超松弛(SLOR)法。222.2.3非线性方程组的Newton迭代法一非线性方程的Newton迭代式Newt

8、on迭代法对非线性方程或方程组用Taylor级数展开，取其前两项，使方程线性化，然后求得其近似解。设ψk是f(ψ)=0的一个近似根，将f(ψ)在ψk处做Taylor展开：(2-66)取前两项来近似f(ψ)，使f(ψ)线性化，得到近似的线性方程为：23(2-67)其中：令其解为ψ(k+1)，则有：(2-68)称为f(ψ)=0的Newton迭代式；24二非线性方程组的Newton迭代式(2-69)器件模拟中，要求解的是非线性方程组。设方程组为：是其近似解。则