点圆及点圆系的性质与应用

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1、点圆及点圆系的性质与应用魏烈斌湖北荆州中学点是几何中最基本的元素，也可以视其为半径零的圆，即点圆。坐标平面上的点的方程可记为。由点圆，直线，圆可构成下列圆系：点在圆上，为非零实数，有圆系（1）点在直线上，为非零实数，有圆系（2）直线与圆相切于点，为非零实数，有圆系（3）下面给出，，的性质。定理11）是圆在点的切线。2）是与圆相切于点的圆，并且任一与圆切于点的圆的方程都能写成（1）.定理2是与直线相切于点的圆，并且任一与直线切于点的圆的方程都能写成（2）.定理31）存在唯一的实数，使就是点2）是与直线相切于点的圆，并且它与圆也切于点仅对定理3给出证明.其过程如下：证1

2、）由于直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，从而有代入（3）可得（4）因为点是直线与圆的切点，所以点的坐标满足（3），进而满足（4）另一方面，当时，（4）表示点这说明就是点，故存在实数使就是点。2）易知必过点.当时，的方程为（4），这说明是过点的圆.解方程组可得（7）由于直线与圆相切于点，所以联立（6）、（7）有唯一解.于是联立（5）、（6），联立（5）、（7）均有唯一解.这说明不仅与直线切于点，与圆也切于点.下面举例说明上述定理的应用.例1已知直线与圆切于点，求直线的方程.解依题意及定理1可知，圆在点的切线的方程为即例2求过点且与圆相切于点的圆的方程.解由定理1可

3、设所求圆的方程为：（8）又该圆过点，所以有即代入（8）整理得所求圆的方程为例3求与圆外切，且与直线相切于点的圆的方程.解设所求圆为C，由定理2可设C的方程为将其整理为（9）因圆C与圆即外切，所以有.即，解得或代入（9）的圆C的方程为：或例4已知直线和圆相切，求的值.解由定理3可知存在值，使方程表示切点，即方程表示点圆.因此且，解得注：该文发表在《数学通讯》2000.13）