椭双抛的几个基本方法 part 1

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1、椭双抛的几个基本方法（简化计算）part11.点差法要点：设点设而不求用途：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题例：直线y=kx+h与x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）交于A、B求中点坐标例1抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1①；x1^2+px1+q=0②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0③；同理px2+3

2、y2+q=0④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.例2过椭圆x^2+4y^2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2+4y1^2=16，x2^2+4y2^2=16，两式相减，得(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为x1+x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除

3、(x1﹣x2)，有2+8k=0∴k=﹣0.25.故直线l的方程为y﹣1=﹣0.25(x﹣1)，即4y+x﹣5=0细节：验证T的存在性（有时直线与圆锥曲线不相交也会有T的坐标）验证方法一：直线与圆锥曲线联立，验证△>0（普适）验证方法二：思路：T在圆锥曲线内椭圆：T在封闭曲线内，将T的坐标代入椭圆方程令等式左边<右边抛物线：T在拱内，将T的坐标代入抛物线，观察图像看点在抛物线的左边还是右边还是上边还是下边双曲线：很复杂，得仔细看图像，推荐验证方法一思考：如何使用验证方法二来验证双曲线？2．参数方程：设点技巧椭

4、圆：P（acosθ，bsinθ）双曲线：P（a*secθ(正割)y=b*tanθ）了解即可要点：线段长化归为角度用途：求长度、面积等的最值、范围例：椭圆方程x^2/16+y^2/4=1，M（2,1）P在椭圆上，求PM斜率取值范围细节：θ仅仅是一个参数，没有任何几何意义思考：如何推导（提示：圆到椭圆的变换）3．焦半径公式抛物线：FP=x+p/2（抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）椭圆：焦点在x轴上：

5、PF1

6、=a+ex

7、PF2

8、=a-ex(F1,F2分别为左右焦点)焦点在y轴上：

9、PF1

10、=a-ey

11、

12、PF2

13、=a+ey(F1,F2分别为上下焦点)双曲线：（有时间自己推）用途：焦点到椭双抛上一点的距离要点：尽量自己推，不要记公式（不好记）本质：圆锥曲线上的一点到焦点的距离/该点到准线的距离=e特别地，通径（过焦点且与长轴垂直的直线与圆锥曲线构成的弦长）长度为抛物线2p椭圆2（b^2/a）双曲线2（b^2/a）例：证明通径长度4．焦点三角形面积公式P为圆锥曲线上一点，若∠F1PF2=θ，椭圆中，S（三角形F1PF2的面积）=b^2*tan（θ/2）双曲线中，S=b^2*cot（θ/2)用途：涉及到焦点三角

14、形要点：θ/2例：已知F1、F2为椭圆C：x^4+y^2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多少？思考：如何推导？