应用偏微分方程教学大纲

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1、《应用偏微分方程》教学大纲一、课程名称应用偏微分方程(PartialDifferentialEquationsandTheirApplications）二、学时与学分学时：48学分：3(卓越工程师班学时：40学分：2.5)三、授课对象光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业四、先修课程微积分、线性代数、复变函数与积分变换五、教学目的《应用偏微分方程》课程是应用数学的重要基础，大量偏微分方程模型源于现实生活。比如，量子力学理论依赖于薛定谔方程，流体力学理论依赖于各种形式的Navi

2、er-Stokes方程，以及电磁场理论依赖于麦克思韦方程等等。本课程各个部分形成独立的模块，重点讨论偏微分方程中四种最基本的方程：传输方程、波动方程、热传导方程和位势方程的特点和相应定解问题的求解方法，特别对偏微分方程模型在物理、力学等学科中的应用问题给予了极大的关注，目的在于将偏微分方程的基本理论与其在实际问题中的应用之间架设一座桥梁，帮助学习者了解近代物理学等学科中一些重要的偏微分方程的来龙去脉，从而掌握运用这些偏微分方程解决实际问题的基本方法。六、主要内容、基本要求及学时分配本课程系统地介绍四

3、种典型方程定解问题的解法及其在光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业光学与电子信息、电子信息与通信、自动化、经济与金融，管理等专业中的应用。内容包括弦传输方程的特征线法、振动方程与定解条件、热传导方程与定解条件、拉普拉斯方程与定解条件、分离变量法、行波法与积分变换、格林函数法、贝塞尔函数及其应用、勒让德函数及其应用等。主要内容第一章绪论（5学时）1.1典型方程和定解条件的物理背景和数学描述（2学时）1.1.1牛顿运动定律与弦振动方程1.1.2能量守恒与热传导方程1.1.3静电

4、位势与拉普拉斯方程1.1.4质量守恒与连续性方程1.2偏微分方程的基本概念（2学时）1.2.1基本概念1.2.2二阶线性偏微分方程的分类1.2.3线性方程的叠加原理1.3定解问题的适定性（1学时）第二章传输方程（4学时）2.1一阶线性方程的特征线法（3学时）2.1.1一阶线性常系数偏微分方程2.1.2种群分析与存货量分析2.1.3一阶线性变系数偏微分方程2.1.4对气体流的应用2.1.5一阶线性方程解的参数形式2.1.6三维一阶线性偏微分方程2.2传输方程（1学时）第三章波动方程（12学时）3.1一

5、维初值问题（4学时）3.1.1无界弦自由振动问题的行波法3.1.2无界弦自由振动问题的傅里叶变换法3.1.3依赖区间,决定区域和影响区域3.1.4无界弦的强迫振动问题3.2高维初值问题（2学时）3.2.1三维波动方程的球面平均法3.2.2惠更斯原理3.2.3二维波动方程的降维法与泊松公式3.2.4波的弥散3.3初边值问题（6学时）3.3.1有界弦自由振动问题的分离变量法3.3.2有界弦自由振动问题的积分变换法3.3.3有界弦强迫振动问题的特征函数展开法3.3.4具有非齐次边界条件的定解问题3.3.5

6、圆形薄膜对称振动问题3.4波动方程定解问题探究（自学）3.4.1波动方程定解问题的齐次化原理3.4.2半无界弦的振动问题3.4.3矩形区域上波动方程的初边值问题3.4.4圆形薄膜振动问题3.4.5高频传输线中的电压波动问题3.4.6非齐次边界条件的齐次化第四章热传导方程（8学时）4.1一维初值问题（2学时）4.1.1无限长杆上初值问题的傅里叶变换法4.1.2半无限长杆上初值问题的拉普拉斯变换法4.2一维初边值问题（4学时）4.2.1无热源有限长杆上初边值问题的分离变量法4.2.2有热源有限长杆上初边

7、值问题的特征函数展开法4.2.3具有非齐次边界条件的热传导问题4.3高维初边值问题（2学时）4.3.1圆盘上轴对称热传导问题4.3.2无限长圆柱上对称热传导问题4.4热传导方程定解问题探究（自学）4.4.1热传导方程定解问题的齐次化原理4.4.2球上径向对称热传导方程初边值问题4.4.3有限长圆柱上轴对称热传导问题第五章拉普拉斯方程（8学时+4学时）5.1二维拉普拉斯方程的边值问题（4学时）5.1.1矩形域上拉普拉斯方程的分离变量法5.1.2圆域上拉普拉斯方程的分离变量法5.1.3二维泊松方程的特征

8、函数展开法5.1.4泊松方程的试探法5.1.5上半平面拉普拉斯方程的积分变换法5.2三维拉普拉斯方程的边值问题（4学时）5.2.1圆柱内稳定温度分布问题的分离变量法5.2.2球域内稳定温度分布问题的分离变量法5.3拉普拉斯方程的格林函数法（4学时）5.3.1拉普拉斯方程的基本解5.3.2格林公式5.3.3调和函数的积分表示5.3.4调和函数的基本性质5.3.5格林函数5.3.6格林函数的基本性质5.3.7上半平面的格林函数5.3.8圆域上的格林函数5.4拉普拉斯方程定