第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题a(初一组)

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1、第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛总分决赛试题A（初一组）（时间:2010年4月10日10:00～11:30）一、填空题(每题10分,共80分)1.互不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C.如果,那么在点A,B,C中,居中的是点.2.右图所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成,这个立体图形的表面积为.3.汽车A从甲站出发开往乙站,同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇后15分钟再与C相遇.已知A、B、C的速度分别是每小时90km,80km,70km,那么甲乙两站的路程是km.4.把自然数分

2、组,要求每组内任意3个数的最大公约数为1,则至少需要分成组.5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数,那么这样的正整数n有个.6.已知,则的值等于.7.六人参加乒乓球比赛,每两人赛一场,分胜负,无平局.最终他们胜的场数分别是a,b,b,c,d,d,且,那么a等于.8.某中学新建游泳池开启使用,先用一天时间匀速将空游泳池注满,经两天的处理后同速将水放光;然后开始同速注水,注满一半时,将注水速度加倍直到注满.请在下图中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9.能否找到7个整数,使得

3、这7个整数沿圆周排成一圈后,任3个相邻数的和都等29?如果能,请举一例.如果不能,请简述理由.10.已知k是满足的整数,并且使二元一次方程组有整数解.问:这样的整数k有多少个?11.所有以质数p为分母的最简真分数的和记为m,所有以质数q3为分母的最简真分数的和记为n.若,求的可能值.12.解方程,其中[x]表示不大于x的最大整数.三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13.右图中,ABC,BCD,CDE,DEF,EFA,FAB的面积之和等于六边形ABCDEF的面积.又图中的6个阴影三角形面积之和等于六边形ABCD

4、EF的面积的.求六边形的面积与六边形ABCDEF的面积之比.装订线14.一个单项式加上多项式后等于一个整式的平方,试求所有这样的单项式.3第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（初一组）一、填空(每题10分,共80分)题号1234567答案A326805032858.解答.二、解答下列各题(每题10分,共40分,要求写出简要过程)9.答案:不能.解答.假设存在7个整数排成一圈后,满足任3个相邻数的和都等于29.则,,,,,,.将上述7式相加,得.所以,与为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数.10.答案:2.解答.

5、直接解方程组,.当(其中m和n是整数)(1)时方程组有整数解.消去上面方程中的k,得到.(2)从(2)解得(其中l是整数).(3)将(3)代入(1)中一个方程,.解不等式,,.因此共有2个k值使原方程有整数解.11.答案:49,14.96.5（96.5可答可不答）解答.因为为质数,所以为最简真分数,所以.同理可得.所以3.首先,因为上式右端3的因子只有一个,所以p和q不可能相等,不妨设.因为=,所以p和q可以是以下情形:,对应的;,对应的.8.答案:.解答.当时,有.当时,有.由于,可以断言,如果方程有正数解x,则.因此,是不可能的

6、.另一方面,,可以断言,如果方程有负数解x,则.因此,,,.故原方程的解为.三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)9.答案:.解答.记六边形的面积为S,图中阴影部分的面积为S1;记△ABC,△BCD,△CDE,△DEF,△EFA,△FAB的面积之和为S2,由这六个三角形组成的图形除去阴影部分的面积为S3,由题设条件可知S2=,S1=.在计算S2时,加了两次S3,所以,从而得.又,所以.故.10.答案:,或8x,或32x,或.解答.设所求的单项式是,.共有3个不为同类项的单项式,如果,则多项式+中不为同类项的单项式

7、有4项,不可能写为两个不为同类项的单项式和的平方,如果写成至少有3项不为同类项的单项式和的平方,则展开后,至少有5个不为同类项的单项式,所以,得到.所求的单项式为,或8x,或32x,或,再无其他解答.33