中高难度环形跑道奥数例题精讲

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1、【例1】(2008年第十三届“华杯赛”决赛)甲、乙两人沿一个周长米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需分钟，乙行走一圈需分钟，他们同时同地同向出发，甲走完圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意．问：当两人第次击掌时，甲共走了多少时间？乙走了多少路程？［分析］甲走圈时，共用了分钟，这段时间乙行程圈，每当甲比乙多走圈时，甲便追上乙一次，所以甲走完圈时，比乙多走了圈，两人共击掌次，此时，甲、乙两人相距圈；甲反向行走后，经过分钟，两人第一次相遇，以后两人总行程每增加圈，便出现一次相遇，即相遇事件发生的时间间隔为分钟，经过分钟，两人最后一次相遇，

2、此时甲一共走了分钟，乙走了米．［拓展］绕湖的一周是千米，甲、乙二人从湖边某一地点同时反向而行，甲以千米／小时的速度每走小时后休息分钟，乙以千米／小时的速度每走分钟后休息分钟，则两人从出发到第一次相遇用多少分钟？［分析］甲的速度为千米／小时米／分钟，　　　　乙的速度为千米／小时米／分钟．　　　　根据题意可知：甲、乙出发小时分钟，甲行(千米)，　　　　乙行了米千米．　　　　还剩下千米米．需行驶(分钟)　　　　所以相遇时间有分钟．［拓展］如图，长方形的长与宽的比为，、为边上的三等分点，某时刻，甲从点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从、出发沿长方形顺时针运动．甲、

3、乙、丙三人的速度比为．他们出发后分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上．所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．将长方形的宽等分，长等分后，将长方形的周长分割成段，设甲走段所用的时间为个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走段、段，由于、、两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有个人走了整数段．所以我们只要考虑在

4、整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．对于甲的运动进行讨论：时间(单位时间)……地点对于乙的运动进行讨论：时间(单位时间)……地点对于丙的运动进行讨论：时间(单位时间)……地点需要检验的时间点有、、、、……个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．个单位时间的时候甲在上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于分钟．个单位时间的时候甲、乙、丙分别在、、的位置第二次构成最大三角形．所以再过分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？【例1】有一正方形，边长12厘米，甲、乙、丙三只蚂蚁从正方形的同一顶点沿正方形的边同时同向出发．三只蚂蚁爬行的速度分别是：甲为每

5、秒厘米，乙为每秒厘米，丙为每秒厘米．问：出发几秒钟后甲开始同时看见乙和丙的后背？【分析】(秒)，即甲爬行80秒可以比乙多爬一个边长；(秒)，即甲爬行50秒可以比丙多爬一个边长．若使甲能同时看见乙和丙的后背，则甲与乙、丙必须在同一条边上，所以甲比乙和丙多爬的距离在个边长和个边长之间．那么，甲比乙多爬的距离为3个边长和4个边长之间、7个边长和8个边长之间……根据前面的计算，甲可能看见乙的后背的时间段可能是240秒到320秒之间、560秒到640秒之间、880秒到960秒之间……同理，甲可能看见丙的后背的时间段可能是150秒到200秒之间、350秒到400秒之间、550秒到

6、600秒之间……选取其中公共的时间段，即560秒到600秒之间．在560秒时，甲与乙的距离为1个边长，则甲只有在正方形的某个顶点处才能看见乙的后背，否则必须爬到下一个顶点处才能看到乙的后背．甲爬一个边长需要秒，而秒，所以当甲爬了秒时，甲恰好到达正方形的顶点处，这时才开始同时看见乙和丙的后背．［拓展］(2004年第九届“华杯赛”总决赛试题)正方形跑道．甲、乙、丙三人同时从点出发同向跑步，他们的速度分别为每秒5米、4米、3米．若干时间后，甲首次开始看到乙和丙都与自己在正方形的同一条边上，且他们在自己的前方．从此时算起，又经过21秒，甲、乙、丙三人处在跑道的同一位置，这是出

7、发后三人第一次处在同一位置．求正方形周长的所有可能值．［分析］设正方形的边长为米．，所以甲跑秒可以比乙多跑一个边长；，甲跑秒可以比丙多跑一个边长．若使甲能同时看见乙和丙，且他们在自己的前方，则甲比乙和丙多跑的距离在个边长和个边长之间．根据前面的计算，甲可能看见乙的后背的时间段可能是秒到秒之间，秒到秒之间……甲可能看见丙的后背的时间段可能是秒到秒之间，秒到秒之间……选取其中公共的时间段，即秒到秒之间．在秒时，甲只有在正方形的某个顶点处才能看见丙的后背，否则必须跑到下一个顶点处才能看到丙的后背．甲跑一个边长需要秒，而秒，所以当甲跑了秒时，才开始同时看见乙