洛仑兹规范的电磁场和光子

《洛仑兹规范的电磁场和光子》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、洛仑兹规范的电磁场和光子1.经典场。电磁场的拉格朗日密度为：在洛仑兹规范下。。则L可以变成：（1）正则坐标为，正则动量为：（2）则场的能量与动量为：（3）（4）2.量子化将和作为正则共轭算符，且满足正则对易关系：或：，（5）则完成了正则量子化。其运动方程为：，（6）将（3）式代入得：亦即：（7）这就是四维失势，现在是算符的波动方程。3.一般解。（7）式所示的波动方程有平面波解，如§1.5，（32）式。诸平面波的叠加，就构成它的一般解为：（8’）或：（8）其中：为平面波因子（=1，2，3，4）是四个极化矢量，其定义如§1.5中（26）式示。（9）它们是正交，归一，完备

2、的，即：（10）（11），=1，2，（12）用右乘（8），并利用正交关系：得：再利用乘上式，并利用（10）式得：（13）同样的方法可得：（14）4.动量极化函数算符以上论述表明：电磁场可以用时空函数算符，描述，也可以用动量，极化函数算符，表征，它们之间由（8），（13）及（14）式相联系。变号（13）式的得：对上式求厄米共轭得：（注：，由于光子为一中性粒子）亦即（14’）由于故（比较（14）与（14’））（15）（16）动量，极化函数算符的对易关系由（5）式可推知为：，（17）例如：将（8）式代入（3）式的H中得：若则故亦即（18）与P89同样的理由，上式中包含与对

3、求和项无贡献，故上式亦即（19）5.三种光子在场的能量、动量表示（18）与（19）中，有算符（20）由对易关系（17）可以证明，（21）如：===，=1，2，3，4。而这样，在N的对角化表象中，若则（22）即而表明，，是光子的产生算符，消灭算符及光子数算符。光子的能量为，动量为，极化为=1，2，3，4。=1，2的光子叫做横光子，=3的光子叫做纵光子，=4的光子叫做标量光子6.存在的问题洛仑兹规范显然是相对论的，可是有严重缺陷，首先对易关系与洛仑兹条件是矛盾，实际上对上式求导得。矛盾！其次，态失的模可能是负的。能量也可能是负的因为若用表示一个标量光子的状态，则由（15

4、），（16），（17）得：则即态失的模是负的，不可思议！！！而=1……………所以当标量光子数=偶数时，态失的模是正的，反之当标量光子数=奇数时，态失的模是负的。另外：由于，而可正可负，这样粒子数算符在态失中的平均值也可正可负，这故得由（18）式表示的能量算符在粒子态间的平均值也可能是负的。而这是物理上不允许的。7.量子场论中的洛仑兹条件当我们把洛仑兹条件写成：（23）时，它与对易关系是矛盾的。在经典电磁场的情况下，洛仑兹条件就是（23）式。但是，量子化以后，场量是算符，洛仑兹条件就不应是（23）式的形式。实际上，在量子理论中，算符（如A）与态失（如）都没有直接的物理

5、意义，有直接物理意义的，是算符在态失中的平均值（如，和态的模（如）或标积（如）。它们和经典理论中的量相对应，因此，量子场论中的洛仑兹条件，不应以算符的形式出现，而应以算符在态失间的平均值的形式出现，令为物理上允许的状态，则（23）式表示的经典场论的洛仑兹条件应变写成：（24）这样，它和对易关系（5）就不矛盾了。下面我们继续改写（24）式。由（8）式知，算符可分为成正数部分和负数部分，即：其中由于所以这样（24）式可以变写成：或：这样如果（25）（24）式自然成立，故可将上式看成是量子场论中的洛仑兹条件。将的平面波展开式（8）代入上式得：对于确定的，上式变为：由§1.

6、5节（29）式知：，（=1，2）故上式成为：将代入上式得：对于光子，故上式变成：亦即：对于任意的k，上式都成立，故上式表明（26）这就是以消灭，产生算符表示的洛仑兹条件，，是纵光子的消灭算符和产生算符，，是标量光子的消灭算符和产生算符。它们的能量动量是相同，但都是任意的。只有满足（26）式的状态，才是物理上允许的。8.负模与负能困难的消除用（24），（25）或（26）表示的量子场论中的洛仑兹条件，不仅和对易关系不矛盾，还解决了标量光子带来的态失的负模及负能量的问题。实际上，在能量，动量表达式式（18）与（19）两式中出现的纵光子与标量光子数算符之和为由于洛仑兹条件(

7、26)式，它们在物理态中的平均值为零，即因此，场的能量、动量为：这表明：在物理上允许的态中，纵光子和标量光子对场的能量、动量没有贡献，且场的能量是正定的。令（27）（28）可以证明：它们是相互对易的。如再令（29）（30）其中，，，……都是任意的函数，显然，它们的及它们的厄米共轭，之间都是相互对易的，即：用表示只有横光子，没有纵光子和标量光子的状态，显然它满足洛仑兹条件所以是物理上允许的状态。用与作用在上得，则与将为已包含有横光子，又包含有纵光子与标量光子的状态。且满足洛仑兹条件其标积为：这表明，纵光子和标量光子对态失的标积也是没有贡献的。态失的标积和模，不管态