考研数学基础提升讲义线代教师版

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1、内部讲义【数学--基础提升讲义】线性代数第一讲行列式(一)知识讲解：一、行列式的概念1.排列与逆序数（1)排列把个不同的元素排成一列，就叫做这个元素的全排列，简称排列．比如就是这个元素的一个排列．注：不同的级排列共有个．（2)逆序、逆序数、对换在一个级排列中，若一对数，大前小后，即，则构成了一个逆序．一个排列中逆序的总数称为此排列的逆序数，记为．如的逆序数为，记作，。排列中，交换任两个数的位置，其余不变，则称对排列作了一次对换．奇(偶)排列：排列的逆序数为奇(偶)数．注：对换一次改变排列的奇偶性．如。2.阶行列式的定义①二阶行列式：。推广到三阶行列式：83内部讲义【数学--基础提升讲义】②定义

2、：。由个数组成的阶行列式。③几种特殊行列式：i>下三角：ii>上三角：iii>二、行列式性质性质1行列式的行与列(按原顺序)互换，(互换后的行列式叫做行列式的转置)其值不变，即83内部讲义【数学--基础提升讲义】．性质2(线性性质)1)行列式的某行(或列)元素都乘，则等于行列式的值也乘．2)如果行列式某行(或列)元素皆为两数之和，则其行列式等于两个行列式之和．．性质3(反对称性质)行列式的两行对换，行列式的值反号．．性质4(三角形法的基础)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变(简称：对行列式做倍加行变换，其值不变)，即83内部讲义【数学--基础提升讲

3、义】．注：行列式中两行对应元素成比例(，，为常数)，其值为零．例1计算的值.解：例2阶行列式（）解：83内部讲义【数学--基础提升讲义】例3已知证明有小于1的正根。证明:又因为在连续，内可导，所以由罗尔定理可知：至少存在一点使得即原命题成立.三、行列式的展开定理1.余子式与代数余子式，其中是中去掉所在的第行第列全部元素后，按原顺序排成的阶行列式，称为元素的余子式，为元素的代数余子式．2.行列式的展开定理行列式对任一行按下式展开，其值相等，即。83内部讲义【数学--基础提升讲义】3.，例4若的代数余子式,则代数余子式____________.例5若，则的值为（）解：答案选A.例6设，求解：83内

4、部讲义【数学--基础提升讲义】例7方程的根的个数是（）解：83内部讲义【数学--基础提升讲义】例8已知，若，则=解：按第行进行展开，四、范德蒙行列式．例9计算．解：按第四行进行展开，83内部讲义【数学--基础提升讲义】五、克莱姆法则1.定义：个未知量个方程的线性方程组，在系数行列式不等于零时的方程组解法定理设线性非齐次方程组①或简记为，其系数行列式，则方程组①有唯一解，其中是用常数项替换中第83内部讲义【数学--基础提升讲义】列所成的行列式，即．例10求解方程组解：83内部讲义【数学--基础提升讲义】所以例11设齐次线性方程组，只有零解，则满足的条件是.解：由习题1.设，且，则（）2.3.设，

5、则4.设四阶行列式，则83内部讲义【数学--基础提升讲义】提示：1.D2.3.4.-12第二讲矩阵（一）大纲要求：1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵．4．理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法．5．了解分块矩阵及其运算．（二）知识讲解一、矩阵的定义1.定

6、义数域中个数排成行列，并括以圆括弧(或方括弧)的数表83内部讲义【数学--基础提升讲义】称为数域上的矩阵，通常用大写字母记做或，有时也记作或，其中称为矩阵的第行第列元素．横排为行，竖排为列．2．同型矩阵与矩阵相等同型矩阵：行数、列数都相同的矩阵．矩阵相等：如果两个矩阵和是同型矩阵，且各对应元素也相等，即，就称和相等，记作。3.几类特殊的矩阵：(1)零矩阵个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作．(2)方阵当时，称为阶矩阵(或阶方阵)．(3)单位矩阵主对角元全为，其余元素全为零的阶矩阵，称为阶单位矩阵(简称单位阵)，记作或或．(4)数量矩阵主对角元全为非零数，其余元素全为零的阶矩阵，称为阶数量矩阵，记

7、作或或．(5)对角矩阵非主对角元皆为零的阶矩阵称为阶对角矩阵(简称对角阵)，记作，即，或记作．(6)上三角矩阵阶矩阵，当时，的矩阵称为上三角矩阵．(7)下三角矩阵当时，的矩阵称为下三角矩阵．83内部讲义【数学--基础提升讲义】(8)正交矩阵若阶矩阵满足，则称为阶正交矩阵，这里是阶单位矩阵．二、矩阵的运算1.矩阵的线性运算(1)加法设和，规定。并称为与之和．矩阵的加法满足以下运算律：①交换律；②结合