2003天津市理工高等数学竞赛真题答案

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1、2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设对一切实数x和y,恒有，且知，则。2．设在x=0处连续，则a=。3．设，其中是由方程所确定的隐函数，则。4．。5．曲线在点M(1,1,1)处的切线方程为（或）。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．当时，下列无穷小量①；②；③；④，从低阶到高阶的排列顺序为（D）（A）①②③④；（B）③①②④；（C）④③②①；（D）④②①

2、③。2．设，在x=0处存在最高阶导数的阶数为（B）（A）1阶；（B）2阶；（C）3阶；（D）4阶。1．设函数在x=1处有连续的导函数，又，则x=1是（B）（A）曲线拐点的横坐标；（B）函数的极小值点；（C）函数的极大值点；（D）以上答案均不正确。2．设函数f，g在区间[a，b]上连续，且（m为常数），则曲线和x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为（A）(A)；(B)；(C)；(D)。3．设，为在第一卦限中的部分，则有（C）（A）；（B）；（C）；（D）。三、a，b，c为何值时，下式成立。（本题6分）解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极

3、限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b=0，当b=0时使用诺必达法则得到，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若a=1，则。综上所述，得到如下结论：，b=0，c=0；或a=1，b=0，c=－2。四、设函数，其中具有连续二阶导函数，且。⑴确定a的值，使在点x=0处可导，并求。⑵讨论在点x=0处的连续性。（本题8分）解：⑴欲使在点x=0处可导，在点x=0处必须连续，于是有即当时，在点x=0处连续。当时，；当x=0时，故：。⑵因为所以，在点x=0处连续。五、设正值函数在上连续，求函数的最小值点。（本题6分）解：注意到：在上，因此，当x>1时，。命：，得，解此方程得

4、到唯一驻点x=2。又，当时，；当x>2时，，所以在点x=2处取得极小值，又因为x=2是唯一的极值点，所以x=2是的最小值点，最小值为。六、设，且，求。（本题6分）解：七、设变换，把方程化为，试确定a。（本题7分）解：计算一、二阶偏导数代入方程，得到，于是有，所以。八、设函数在xOy平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t恒有，求。（本题7分）解：由曲线积分与路径无关知，所以，其中为待定函数。又；。根据题设，有，上式两边对t求导，得到，于是知，即，故。九、设函数f(x)具有二阶连续导函数，且。在曲线y=f(x)上任意取一点作曲线的切线，此切线在x轴上的截距

5、记作，求。（本题8分）解：过点的曲线y=f(x)的切线方程为：，注意到：由于，所以当时，。因此，此直线在x轴上的截距为。且。利用泰勒公式将在点处展开，得到。类似可得：。代入得十、设函数f(x)在闭区间上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1。试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的ξ和η，使得。（本题7分）证明：取数，由连续函数介值定理知，存在，使得。在区间[0,C]与[C,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有显然。由于，所以，即。从而，注意到：若取，则，并且，代入得。十一、设，试证明在区间上有且仅有两个实根。（本题7分）证明：由

6、于是偶函数，所以是奇函数，是偶函数，于是知为偶函数。又注意到：，（当x>0时）。因此，函数在闭区间[0,1]上有且仅有唯一一个实根；又为偶函数，所以在闭区间上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数在闭区间上有且仅有两个实根。十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：其中：D为圆域。（本题8分）证明：取极坐标系，由，得到，将上式两端同乘r，得到。于是有由积分中值定理，有，其中。故。