超越复数的三元数

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1、超越复数的三元数──从复平面到三维数空间河北省武安市骈山中学　白烁星　韩江燕摘　要：本文通过引入空间直角坐标系，从清晰、简明的解析原理出发，利用数形合一的数学思想，建立了空间数系的理论。作者在文中阐述了三元数运算的一般法则及重要性质，并给出以下有趣结论：一、一般地，一个三元数的n次方根有n个，分布在空间中与复平面成某一角度的一个圆上。二、任一给定三元数可求其指数函数。特别地，欧拉公式是三元数理论中的一个特例。关键词：三元数；数平面；数空间；根；方程中图分类号：0153.5  泛代数 一、引言 自从认识到复数运算等同于

2、平面上一种点的演算体系，就有数学家提出这一问题：能不能找到一种空间数系，其中每一个三元数对应于空间中的一个点？首先数学家们希望新数系能尽可能多地保留复数的优美性质，并与原有代数理论保持和谐一致，同时，人们自然也期望在新数系中能发现一些以前不曾有的东西。本篇论文恰好回答了上述问题。 二、三元数的概念与表示法 1.三元数的概念1.1定义⑴  ⑵ 1.2三元数 形如的数叫做三元数。三元数通常用一个字母来表示，即全体三元数构成的集合叫做三元数集，用字母A来表示。1.3三元数相等的条件若（）则特别地，1.4三元数空间建立了空间

3、直角坐标系来表示三元数的空间叫做三元数空间，简称数空间。于是：实数一一对应实轴上的点；复数一一对应复平面内点；三元数一一对应数空间内点2.三元数的表示2.1三元数的代数形式三元数叫做三元数的代数形式。2.2三元数的几何表示⑴三元数的点表示  三元数空间内的点表示三元数。⑵三元数的向量表示  三元数可以用向量来表示，三元数集A与三元数空间内所有以原点O为起点的向量所组成的集合一一对应（实数0与零向量对应），即三元数一一对应空间向量2.3三元数的三角形式 ⑴三元数的模 与三元数对应的向量的模（即有向线段OP的长度）r叫做

4、三元数的模（或绝对值）。记作或，易知三元数模的几何意义是：三元数在数空间内对应的点到原点的距离。⑵三元数的辐角与倾角  数空间可看作复平面绕x轴旋转而成，x轴与空间点可唯一确定一个平面，该平面与复平面的夹角称三元数的倾角，，平面称倾角为的数平面，特别地，复平面是倾角为O的数平面，无数个数平面形成了数空间。当点落在x轴上时，倾角值不定，也就是说：实数的倾角值不定。以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线（起点是O）为终边的角θ，叫做三元数的辐角，记做。⑶辐角的主值  在区间内的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作,即0≤arg

5、p＜。非0三元数的辐角有无限多个值，但辐角的主值只有一个，三元数0的辐角不定。⑷三元数的三角形式  三元数可以表示成叫做三元数的三角形式。说明:①三元数的代数形式是唯一的,但三角形式不是唯一的。②代数形式与相对应的三角形式的互化公式：；；求r：；求：一般地，，，时，；时，值不定；求：由点的所在象限及共同确定（一般取最小正角）。例1：求的三角形式解：；；由知角位于第一象限，又，,得；所以数的三角形式为： 三、三元数的运算 三元数的代数形式的运算   说明：⑴三元数的加法与乘法满足交换律以及乘法对加法的分配律。⑵一般地，

6、当且仅当三个三元数在同一个数平面上时，它们的乘法满足结合律。⑶由于复平面是倾角为0的数平面，所以同在复平面上的三个数总是满足结合律。⑷在复平面上成立的结论，在其它数平面上也成立。⑸关于两个三元数如何作除法运算，可依三元数相等的定义及乘法公式求得。例1：已知，，求解：依定义，例2：已知，，求：解：令则有即联立方程组得： 对方程组求解得所以这显然与例1的结论一致。例3：已知，求的倒数=？解：依倒数的定义，设是的倒数，则有即联立方程组得：对方程组求解得：所以的倒数为注意到，不难发现在复数理论中的倒数显然是，这里，三元数理论

7、与复数理论也保持了惊人的一致。三元数加减法的几何意义三元数的加法满足平行四边形法则，减法满足三角形法则。一个向量对应的三元数，等于终点对应的三元数减去起点对应的三元数。三元数与复数及实数的联系与区别。复数是实数的扩充,三元数是复数的扩充,要特别注意三元数与复数及实数的联系与区别。⑴实数与数轴上的点一一对应,复数与复平面内的点、复平面内以原点为起点的向量一一对应,三元数与数空间内的点、数空间内以原点为起点的向量一一对应。⑵两个实数可以比较大小,有关不等式的一些性质仅限于实数集中成立。⑶三元数的模是实数及复数绝对值的扩充

8、,实数与复数的绝对值是三元数模的特例，因此,三元数模的所有性质对实数绝对值都成立,，而实数绝对值的一些性质对三元数模则不一定成立。，在为实数时表示两个点，在为复数时表示单位圆，在为三元数时表示单位球。⑷实数集对加、减、乘、除、乘方运算封闭；复数集与三元数集对加、减、乘、除、乘方、开方运算封闭。⑸一元次方程在复数集中有且仅有个根，在三元数集中，一