超越复数的三元数

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1、超越复数的三元数──从复平面到三维数空间河北省武安市骈山中学　白烁星　韩江燕摘　要：本文通过引入空间直角坐标系，从清晰、简明的解析原理出发，利用数形合一的数学思想，建立了空间数系的理论。作者在文中阐述了三元数运算的一般法则及重要性质，并给出以下有趣结论：一、一般地，一个三元数的n次方根有n个，分布在空间中与复平面成某一角度的一个圆上。二、任一给定三元数可求其指数函数。特别地，欧拉公式是三元数理论中的一个特例。关键词：三元数；数平面；数空间；根；方程中图分类号：0153.5  泛代数 一、引言 自从认识到复

2、数运算等同于平面上一种点的演算体系，就有数学家提出这一问题：能不能找到一种空间数系，其中每一个三元数对应于空间中的一个点？首先数学家们希望新数系能尽可能多地保留复数的优美性质，并与原有代数理论保持和谐一致，同时，人们自然也期望在新数系中能发现一些以前不曾有的东西。本篇论文恰好回答了上述问题。 二、三元数的概念与表示法 1.三元数的概念1.1定义⑴  ⑵ 1.2三元数 形如的数叫做三元数。三元数通常用一个字母来表示，即全体三元数构成的集合叫做三元数集，用字母A来表示。1.3三元数相等的条件若（）则特别地，1

3、.4三元数空间建立了空间直角坐标系来表示三元数的空间叫做三元数空间，简称数空间。于是：实数一一对应实轴上的点；复数一一对应复平面内点；三元数一一对应数空间内点2.三元数的表示2.1三元数的代数形式三元数叫做三元数的代数形式。2.2三元数的几何表示⑴三元数的点表示  三元数空间内的点表示三元数。⑵三元数的向量表示  三元数可以用向量来表示，三元数集A与三元数空间内所有以原点O为起点的向量所组成的集合一一对应（实数0与零向量对应），即三元数一一对应空间向量2.3三元数的三角形式 ⑴三元数的模 与三元数对应的向

4、量的模（即有向线段OP的长度）r叫做三元数的模（或绝对值）。记作或，易知三元数模的几何意义是：三元数在数空间内对应的点到原点的距离。⑵三元数的辐角与倾角  数空间可看作复平面绕x轴旋转而成，x轴与空间点可唯一确定一个平面，该平面与复平面的夹角称三元数的倾角，，平面称倾角为的数平面，特别地，复平面是倾角为O的数平面，无数个数平面形成了数空间。当点落在x轴上时，倾角值不定，也就是说：实数的倾角值不定。以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线（起点是O）为终边的角θ，叫做三元数的辐角，记做。⑶辐角的主值  在区间内

5、的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作,即0≤argp＜。非0三元数的辐角有无限多个值，但辐角的主值只有一个，三元数0的辐角不定。⑷三元数的三角形式  三元数可以表示成叫做三元数的三角形式。说明:①三元数的代数形式是唯一的,但三角形式不是唯一的。②代数形式与相对应的三角形式的互化公式：；；求r：；求：一般地，，，时，；时，值不定；求：由点的所在象限及共同确定（一般取最小正角）。例1：求的三角形式解：；；由知角位于第一象限，又，,得；所以数的三角形式为： 三、三元数的运算 三元数的代数形式的运算   说明：⑴三

6、元数的加法与乘法满足交换律以及乘法对加法的分配律。⑵一般地，当且仅当三个三元数在同一个数平面上时，它们的乘法满足结合律。⑶由于复平面是倾角为0的数平面，所以同在复平面上的三个数总是满足结合律。⑷在复平面上成立的结论，在其它数平面上也成立。⑸关于两个三元数如何作除法运算，可依三元数相等的定义及乘法公式求得。例1：已知，，求解：依定义，例2：已知，，求：解：令则有即联立方程组得： 对方程组求解得所以这显然与例1的结论一致。例3：已知，求的倒数=？解：依倒数的定义，设是的倒数，则有即联立方程组得：对方程组求解得

7、：所以的倒数为注意到，不难发现在复数理论中的倒数显然是，这里，三元数理论与复数理论也保持了惊人的一致。三元数加减法的几何意义三元数的加法满足平行四边形法则，减法满足三角形法则。一个向量对应的三元数，等于终点对应的三元数减去起点对应的三元数。三元数与复数及实数的联系与区别。复数是实数的扩充,三元数是复数的扩充,要特别注意三元数与复数及实数的联系与区别。⑴实数与数轴上的点一一对应,复数与复平面内的点、复平面内以原点为起点的向量一一对应,三元数与数空间内的点、数空间内以原点为起点的向量一一对应。⑵两个实数可以比

8、较大小,有关不等式的一些性质仅限于实数集中成立。⑶三元数的模是实数及复数绝对值的扩充,实数与复数的绝对值是三元数模的特例，因此,三元数模的所有性质对实数绝对值都成立,，而实数绝对值的一些性质对三元数模则不一定成立。，在为实数时表示两个点，在为复数时表示单位圆，在为三元数时表示单位球。⑷实数集对加、减、乘、除、乘方运算封闭；复数集与三元数集对加、减、乘、除、乘方、开方运算封闭。⑸一元次方程在复数集中有且仅有个根，在三元数集中，一