acoeza2012考研数学重要知识点解析之高等数学(三)

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1、生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。-----无名2012考研数学重要知识点解析之高等数学（三）万学海文数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。万学海文数学考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是拉格朗日中值定理。1.定理内容：若满足条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导则在开区间内至少存在一点，使得，即2.定理证明：分析：由于该定理中出

2、现了中值，我们需要用学过的罗尔定理来证明。分析已知条件可知，我们需要构造一个辅助函数，这个函数既要和有关，又要满足洛尔定理的条件。辅助函数的构造是中值定理解决实际问题的关键，就这个定理而言，我们从定理的结论入手，把它变型为：，很容易我们会联想到洛尔定理的结论是，如果可以看作某个函数在点的导数值的话，如果这个函数满足洛尔定理的条件，那么这个辅助函数我们就找到了。事实上，此时辅助函数可记为.证明：作辅助函数，易验证满足：在闭区间上连续，在开区间内可导，且；又。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即即.3.定理注解:（1）定理的不同形式：

3、1），在之间；2）；3）.（2）定理的几何意义：可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线。4.应用举例：（证明含有中值的等式）设试证至少存在一点使得分析：这个结论中含有中值，还有函数在两个端点处的函数值，首先将所证式子中不带的移到等式一端，整理得，从这个式子的形式我们看出可以尝试使用拉格朗日中值定理去证明！证明:设，因为，所以在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点使得即总结：在遇到用中值定理去证明等式时，设置辅助函数是一个重点，也是一个难点。解决这类问题，通常从结论出发，把含有中值的项分离到等式一边，剩余项放在另一边

4、，并从中分析出辅助函数的形式。最后，验证辅助函数满足定理的条件，并证明之。