复球面上的几何性质

《复球面上的几何性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、复球面上的几何性质摘要：本文通过测地投影法，建立了复平面与球面上的点的一一对应关系。从而复平面上的点可以在一个三维球面上被表示出，称为复数的球面几何表示。通过这样的一个一一映射，我们可以研究平面上的复数和复平面在有限三维空间上的性质，接着再探讨复球面与扩充复平面之间的对应关系。关键词：复平面；复球面；对应关系中图分类号：O174.51引言公元七世纪前，欧几里得（Euclid）精心整理了古希腊推理几何学，创造性的完成了《几何原本》这本数学巨著。1868年，德国数学家黎曼（Riemann）从另一角度否定欧几里得第五公

2、设（平行性公设），黎氏几何公理体系与欧氏几何公理体系除平行公理截然不同外，其它公理也有异同之处。我们把通常的球面作为平面，球面上对径点（球面直径的两端点）视为一个点，球面上的大圆作为直线，便得到黎氏几何的一个模型，称为黎氏半球面模型。球面几何属于黎世几何，其有着广泛的应用。例如，卫星定位、大地(天体)测量和航空卫星定位等都需要利用有关于球面几何的知识。在基础理论上，球面几何与欧氏几何是不同的几何模型，它是一个非常重要且实用的非欧几何的数学模型。在几何学的理论研究方面球面几何有着特殊的重要作用和意义。我们通过比较欧

3、氏平面几何与球面几何的差异和联系，应用和感受科学中存在的丰富多彩的教学模型。18我们可以在坐标系中用一个点表示一对有序实数。通过复变函数的学习，可知坐标系中的一个点可以与一个复数一一对应。因此我们可以在坐标系中将全体复数构成的集合进行表示，则会形成一个复平面，每一个复数在复平面上都有一个唯一对应的点。通过有关的学习和书籍的说明，可以知道扩充复平面与复球面之间可以建立一一对应的关系。本文致力于研究扩充复平面和复球面之间的位置关系，讨论其对应表达式及研究对应关系，在理论上得以证明其建立的关系。对于复数和复平面在复球面

4、上的性质，从而构造出一个新的一一映射，在一个三维球面上复平面的点可以被表示出来，这样我们可以称其为复数的球面几何表示。我们通过这样的一个一一映射，对平面上复数的研究转移到一个有界的复球面，并且在这个复球面中讨论复数在其上的一些性质及关系。1复球面1.1复数在球面上的表示法设,（1）是一个点列。如所周知，如果在以原点为中心，任意大的数为半径的圆外，总有这个点列中的点，这个点列就称为是无界的。我们也知道一个无界点列，可以没有极限点。在这种情况下，我们说点列（1）趋向无穷。用符号来表示，写作,（2）这个等式就表示无穷数

5、列（2）没有极限数。为了给等式（2）以简单的几何意义，我们要用球面上的点来表示复数。为此，我们取一个与平面在原点相切的球面（图1）那未通过点的球的直径就与平面垂直，并且与球面交于一个第二点，我们把点叫做极点。每一个复数可以看作平面上的一个点，用直线连接这个点与极点。这条直线与球面有（异于的）另一个唯一的交点，我们就用这个唯一确定的点来表示复数，称作在球面上的像。这样一来，每一个复数就可由球面上的某一点来表示。反之，除极点以外，对于球面上每一个点，平面上有一个唯一的点对应它，这个点就是通过点和那个被考虑的点的直线与

6、平面的交点。所以，除极点以外，球面上每一个点代表了某一个复数。这样，我们就在平面上的点与球面上（除点以外）的点之间建立了一个双方连续的一一对应。这个球面，在它上面去掉了18点以后，就成为全体复数的像。现在我们来观察点与球面上另外的点有什么相互的关系。假如数列趋向无穷，，那么在球面上的像就无限制地接近于点。把点作为无穷的像就显得很自然，而平面上与它对应的那个唯一的点就称为这个平面的无穷远点。图1这样，在复数平面上我们承认有唯一的无穷远点（它在球面上的像是点）这跟射影几何的平面不同，在那时考虑无穷远直线，也就是说有无

7、穷多个不同的无穷远点。上述的变换叫做球极投影，用这个变换，我们建立了球面上的点与平面上包括它的唯一的无穷远点在内的点之间的一个一一对应。这个用它的点代表了全体复数及无穷的球面称为复数球面或黎曼球面。把复数映射到球面上来代替复数平面的优越性是：这里能把平面上的唯一的无穷远点明显地表示出来。18假如把球面上点的邻域了解为任一个圆周所包围的含有的球面的一部分，而这个圆周所在的平面是和相垂直的话，那么在平面上应当把无穷远点的邻域了解为这个球面部分的球极投影，也就是说，以坐标原点为中心的任一圆周的外部。于是点列（1）收敛于

8、无穷远点的条件，可以表示成完全类似于第3节的条件的形式：假如点列中几乎所有的点（就是说除了有限个点外所有的点）都在无穷远点的任意的邻域内，我们就称这个点列收敛于无穷远点。在以后的叙述中，假如没有相反的说明，我们总用字母z表示平面上的任一个普通的点，而这种点的全体叫做复数平面。复数平面连同无穷远点在一起就叫做扩大了的复数平面。我们应当注意，平面的无穷远点，跟远点一样，没有确