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《2010年高考数学题分类汇编(17)推理与证明》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第17部分:推理与证明一、填空题:1.(2010年高考陕西卷理科12)观察下列等式:,根据上述规律,第五个等式为.【解析】(方法一)∵所给等式左边的底数依次分别为;;,右边的底数依次分别为(注意:这里),∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为,右边的底数为.又左边为立方和,右边为平方的形式,故第五个等式为.(方法二)∵易知第五个等式的左边为,且化简后等于,而,故易知第五个等式为.二、解答题:1.(2010年高考数学湖北卷理科20)(本小题满分13分)已知数列满足:,,;数列满足:=-(n≥
2、1).(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列.122.(22)(2010年高考全国卷I理科22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)已知数列中,.12(Ⅰ)设,求数列的通项公式;(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围.【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.【解析】(Ⅱ)用数学归纳法证明:当时.(ⅰ)当时,,命题成立;123.(2010年高考
3、四川卷理科22)(本小题满分14分)设(且),g(x)是f(x)的反函数.(Ⅰ)设关于的方程求在区间[2,6]上有实数解,求t的取值范围;(Ⅱ)当a=e(e为自然对数的底数)时,证明:;(Ⅲ)当0<a≤时,试比较与4的大小,并说明理由.124.(2010年高考江苏卷试题23)(本小题满分10分)12已知△ABC的三边长都是有理数。(1)求证cosA是有理数;(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。[解析]本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。(方法一)(1)证明:设三
4、边长分别为,,∵是有理数,是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,∴必为有理数,∴cosA是有理数。(2)①当时,显然cosA是有理数;当时,∵,因为cosA是有理数,∴也是有理数;②假设当时,结论成立,即coskA、均是有理数。当时,,,,解得:∵cosA,,均是有理数,∴是有理数,∴是有理数。即当时,结论成立。综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。(方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。①当时,由(1)知是有理数,从而有也是有理数。
5、②假设当时,和都是有理数。当时,由,,及①和归纳假设,知和都是有理数。12即当时,结论成立。综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。5.(2010年高考江西卷理科22)(本小题满分14分)证明以下命题:(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.22.(本小题满分14分)证明:(1)易知成等差数列,故也成等差数列,所以对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列.(2)若成等差数列,则有,即……①选取关于的一个多项式,例如,使得它可按两种方式分解因式,由于因此
6、令,可得……②易验证满足①,因此成等差数列,当时,有且因此为边可以构成三角形.其次,任取正整数,假若三角形与相似,则有:,据比例性质有:12所以,由此可得,与假设矛盾,即任两个三角形与互不相似,所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.6.(2010年高考全国2卷理数18)(本小题满分12分)已知数列的前项和.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:.【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用,数列极限和数列不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力.[来源:Z&xx&k.Com]【参考答案】12【点评】2010年高考数学全国I
7、、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式,具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用,也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考,对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等,这种考查方式还要持续.7.(2010年高考重庆市理科21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)在数列中,,其中实数.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)若对一切有,求c的取值范围.12121212
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