椭圆典型题型归纳

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1、椭圆典型题型归纳题型一.定义及其应用例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；例2.方程所表示的曲线是练习：1.方程对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆2.方程对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D.圆3.方程成立的充要条件是（）A.B.C.D.4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于；6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为；题型二.椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点和

2、的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；第12页（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；（四）定义法求轨迹方程；例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线

3、上满足的点，求点的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题例1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；第12页题型四.椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆的离心率为，则；例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范

4、围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程所表示的曲线是例2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为例4．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。第12页例5．已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．求的最小值及对应的点的坐标．题型七.求离心率例1.椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭

5、圆的离心率为例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为；题型八.椭圆参数方程的应用例1.椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？第12页例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在，但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免

6、讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了，从而简化了运算。解：设，：把代入椭圆方程得：，即，，第12页∴，此时令直线的倾角为，则即面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。（二）弦长问题例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。分析：若直线与圆锥曲线相交于两点、，则弦的长度的计算公式为，而，因此只要把直线的方程代入圆锥曲线方程，消去（或），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。解：设（），则直线的方程为，设直线与椭圆相交于、，由，可得，，，则∴

7、，即∴，又，∴，∴；第12页例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，若，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，若的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.已知一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.（1）用直线的斜率表示的面积；（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程．解：（1）设椭圆的方程为，由，∴a2=3b2第12页故椭圆方程；设，由于点

8、分有向线段的比为2．∴，