雨水沿屋顶轨迹问题论文

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1、雨水沿椭球形屋顶运动轨迹问题摘要落在椭球形屋顶的雨水，在重力作用下将沿着屋顶向下滑落。在该问题中，根据物体总是向势能增加最快的方向运动这一物理原理，雨滴将沿着高度下降最快的方向运动，也就是沿着与z轴的方向导数取得最大值的方向流下。雨水的轨迹在坐标平面上的投影平行于梯度方向，以投影曲线为准线与椭球面的交线即为雨水的轨迹。通过计算可以得到落在椭球面上坐标为（其中，，）的雨滴的轨迹为落在点的雨滴的轨迹为（，且）之一，且概率相等。关键词：梯度方向导数微分方程1．问题重述已知屋顶曲面的方程为，研究雨水在重力作用下沿着该屋顶向下流时候的运动轨迹。2．问题分析通过物理学规律，可以知道流水在曲

2、面上某点的运动轨迹的方向是曲面在该点的梯度方向，因为在这个方向雨水沿z轴下降最快。3．模型假设针对本问题，建立如下合理的假设：1.椭球面表面光滑，没有摩擦；2.没有风的影响。4.符号说明为表述问题方便，建立相应的符号系统，主要符号说明如下：符号说明雨滴落在椭球面上的横坐标雨滴落在椭球面上的纵坐标雨滴落在椭球面上的竖坐标一个常数5.模型的建立与求解1.当，且时，方程为的椭球面的梯度为：已知雨水的轨迹在坐标平面上的投影平行于梯度方向，即向量平行于投影曲线的切矢量即由此可解得雨水的轨迹在坐标平面上的投影方程为：（其中C为常数）若雨水落在点上，带入方程中可得因此可得滴在点上的雨滴的运动

3、轨迹在坐标平面上的投影方程为：所以雨滴的运动轨迹为：2.当时，方程为的椭球面的梯度不存在，即在点处的切平面平行于坐标平面。此时由对称性可知雨滴可能向任意方向下滑。轨迹方程为：（，且）6.模型的优缺点优点：简洁易懂。缺点：忽略了屋顶表面的摩擦阻力以及风对雨滴运动轨迹的影响。7.参考文献[1]华中科技大学数学系，微积分学（第三版）（下册），北京：高等教育出版社，2008年6月。