形心重心的理论计算公式

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1、§3-4  重心和形心一、重心的概念：   1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。   2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。   3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。   无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。二、 重心座标的公式：    (1)、重心座标的公式            三、物体质心的坐标公式   在重心坐标公式中，若将G=mg，Gi＝mig代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：   四、均质物体的形心坐标公式若物体为均质的，

2、设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为Vi，则G=ρgV,Gi＝ρgVi，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：      式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：      令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy；   ∑Ai.yi＝A.yc＝Sx   则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：   1、对称法凡是具有对称面、对称轴或对

3、称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。      2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。   （1）、悬挂法   利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。   悬挂法确定物体的重心方法见图      (2）、称重法   对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。   　  

4、 设连杆的重力为G,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力FB,   则由  ∑MA(F)=0  FB.L－G.xc＝0    xc＝FB.L/G   (3)、分割法：   工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。   下面是平面图形的形心坐标公式：      (4)、负面积法：   仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面

5、积用负值。   3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。   下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。   　四、求平面图形的形心举例例1热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。解:方法一（分割法）：根据图形的组合情况，可将该截面分割成两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ，Ⅱ的面积和形心坐标分别为A1=120mm×12mm＝1440mm2 x1＝6mm y1＝60mmA2＝（80-12）mm×12mm

6、＝816mm2x2＝12mm＋（80-12）/20=46mmy2＝6mm即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）　方法二(负面积法)：用负面积法求形心。计算简图如图。A1＝80mm×120mm＝9600mm2x1＝40mmy1＝60mmA2=－108mm×68mm＝－7344mm2x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mmy1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。例2试求如图所示图形的形心。已知R＝100mm，r2＝30mm，r3

7、＝17mm。解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出xc，将图形看成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为（1）、半径为R的半圆面：A1＝πR2/2＝π×(100mm)2/2＝15700mm2y1＝4R/(3π)＝4×100mm/(3π)＝42.4mm(2）、半径为r2的半圆面A2＝π(r2)2/2＝π×(30mm)2/2＝1400mm2y2＝－4r2/(3π)＝－4×30mm/(3π)＝－12.7mm（3）、被挖掉的半径为r3的圆面：A3＝－π(r3)2＝－π(17mm)2

8、＝910mm2y3＝0(4）、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）