建筑力学电子教案_重心和形心

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1、重心和形心工程实践中常常需要计算或测定结构物重心的位置，而求物体重心的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。任一物体都由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，其合力即为物体的重量，而此力系的中心则为物体的重心。§5-1重心和形心的坐标公式1.重心坐标的一般公式zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio右图是

2、一个空间力系，则P=∑ΔPi合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理即于是有zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCzio同理有为确定zC，将坐标系连同物体绕y轴转90º，使重力与x轴平行，得2.均质物体的重心坐标公式这时物体容重g是常量，则于是有zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCziO上式也就是求物体形心位置的公式。即对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。zxyPΔPiCiCC1ΔP1x1y1xCyCxiyiz1zCziO3.均质等厚薄板的重心和平面图形的形心对于均质等厚的薄板，如取平分其厚

3、度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC等于零。设板厚为d，则有V=A·d，ΔVi=ΔAi·d则上式也即为求平面图形形心的公式。§5-2确定重心和形心位置的具体方法（1）积分法；（2）组合法；（3）悬挂法；（4）称重法。具体方法：1.积分法对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有若为平面图形，则例5-1用积分法求下列平面图形的形心位置。b(y)ydyC2ROxy解：建立如图所示坐标系，则xC=0现求yC。则b(y)ydyC2ROxy代入公式有b(y)ydyC2ROxy2.组合

4、法当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。下面通过例子来说明。例5-1角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。y15020x20200O(a)y15020x20200O12(b)解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为：A1=（200-20）×20=3600x1=10mmy1=110mmA2=150×20=300015020x20200Oy12(b)x2=75mmy2=10mm由组合法，得到xC=A1+A2A1x1+

5、A2x2=39.5mmC(xC,yC)15020x20200Oy12(b)yC=A1+A2A1y1+A2y2=64.5mm另一种解法：负面积法15020x20200Oy1将截面看成是从200mm×150mm的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部分）而得到，从而A1=200×150=30000mm2x1=75mm,y1=100mmA2=-180×130=-23400mm2故xC=30000×75-23400×8530000-23400=39.5mmyC=30000×100-23400×11030000-23400=64.5mm两种方法的结果相同。x2=85

6、mm,y2=110mm15020x20200Oy13.悬挂法以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重心C的位置，如图。想一想，为啥？ABABC4.称重法对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方法。图示机床重2500N，现拟用“称重法”确定其重心坐标。为此，在B处放一垫子，在A处放一秤。当机床水平放置时，A处秤上读数为1750N，当θ=20º时秤上的读数为1500N。试算出机床重心的坐标。思考题5-1yx2.4mCBAθ边长为a的均质等厚正方形板ABCD，被截去等腰三角形AEB。试求点E的

7、极限位置ymax以保证剩余部分AEBDC的重心仍在该部分范围内。ABCDEymaxaaxy例题5-2：解：采用负面积法分析xC=2a极限位置yC=ymaxⅠ：Ⅱ：ABCDEymaxaaxyyC=-A1+A2-A1y1+A2y2,即解方程得ABCDEymaxaaxyⅠⅡ展开得