高中数学教案-人教a版必修5(6)——等差数列的前n项和(二)

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1、第六课时等差数列的前n项和(二)教学目标:进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题;提高学生的应用意识.教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点:灵活应用求和公式解决问题.教学过程:Ⅰ.复习回顾通项公式:an=a1+(n-1)d,求和公式:Sn==na1+dⅡ.讲授新课下面结合这些例子,来看如何应用上述知识解决一些相关问题.[例1]求集合M={m|m=7n,n∈N*,且m<100}的元素个数,并求这些元素的和.分析:满足条件的n的取值个数即为集合M的元素个数,这些

2、元素若按从小到大排列,则是一等差数列.解:由m<100,得7n<100,即n<=14所以满足上面不等式的正整数n共有14个,即集合M中的元素共有14个,将它们从小到大可列出,得:7,7×2,7×3,7×4,…7×14,即:7,14,21,28,…98这个数列是等差数列,记为{an},其中a1=7,a14=98,n=14则S14==735答:集合M中共有14个元素,它们和等于735.这一例题表明,在小于100的正整数中共有14个数是7的倍数,它们的和是735.[例2]已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220

3、,由此可以确定求其前n项和的公式吗?分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的关系,然后确定a1与d,从而得到所求前n项和的公式.解:由题意知S10=310,S20=1220将它们代入公式Sn=na1+d,得到解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6所以Sn=4n+×6=3n2+n这就是说,已知S10与S20,可以确定这个数列的前n项和的公式,这个公式是Sn=3n2+n.下面,同学们再来思考这样一个问题:[例3]已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.求证:S6,S12-S6,S18-

4、S12成等差数列,设其k∈N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列吗?解:设{an}的首项是a1,公差为d,则S3=a1+a2+a3S6-S3=a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=(a1+a2+a3)+9d=S3+9dS9-S6=a7+a8+a9=(a4+3d)+(a5+3d)+(a6+3d)=(a4+a5+a6)+9d=(S6-S3)+9d=S3+18d∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.同理可得Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等差数列.Sk=a1+a2+…+ak(S2k-S

5、k)=ak+1+ak+2+…+a2k=(a1+kd)+(a2+kd)+…+(ak+kd)=(a1+a2+…+ak)+k2d=Sk+k2d(S3k-S2k)=a2k+1+a2k+2+…+a3k=(ak+1+kd)+(ak+2+kd)+…+(a2k+kd)=(ak+1+ak+2+…+a2k)+k2d=(S2k-Sk)+k2d∴Sk,S2k-Sk,S3k-S2k是以Sk为首项,k2d为公差的等差数列.[例4]已知数列{an}是等差数列,a1>0,S9=S17,试问n为何值时,数列的前n项和最大?最大值为多少?分析:要研究一个等差数列

6、的前n项和的最大(小)问题,有两条基本途径;其一是利用Sn是n的二次函数关系来考虑;其二是通过考察数列的单调性来解决.解法一:∵S9=S17,S9=9a1+36d,S17=17a1+136d∴9a1+36d=17a1+136d,8a1=-100d,即d=-a1<0Sn=na1+d=na1+·(-a1)=na1-a1=-a1(n2-26n)=-a1(n-13)2+a1∵a1>0,∴当n=13,Sn有最大值.最大值为a1.解法二:由a1>0,d<0,可知此数列为从正项开始的递减数列:a1>a2>a3>a4>……故n在某一时刻,必然

7、会出现负项,此时前n项的和开始减少,因此,要使Sn最大,n必须使得an≥0,且an+1≤0.即解得≤n≤.∴n=13此时,Sn最大,S13=13a1+d=a1.评述:解法一利用Sn是n的二次函数关系,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量n是正整数;解法2是从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最大值,方法更具有一般性.[例5]在数列{an}中,a1=1,an+1=,求数列{anan+1}的前n项和.分析:要求数列{anan+1}的前n项和,需要先求数列{an}的通项公式.解:由已知得=+∴{}为首项为=1,

8、公差为的等差数列.∴=1+(n-1)×=,∴an=Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=++…+=4[(-)+(-)+…+(-)]=4(-)=.[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,

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