江苏自考02009抽象代数大纲

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1、02009　抽象代数　　一、课程性质、目的和要求　　抽象代数即近世代数是现代数学的一个重要分支，是研究多种代数结构的一门学科。它是现代科学各个分支的基础，而且随着科学技术的不断进步，特别是计算机的发展与推广，近世代数的思想、理论与方法的应用越来越广泛。它的思想方法已经渗透到数学的多个分支，它的结果已应用到众多学科领域，它的内容对中学代数教学有指导意义。本课程是师范院校数学专业学生的必修课，也是教师本科自考的必考课程。近世代数的内容丰富，在本科阶段不可能全部掌握，根据所选教材，要求考生在学习本课程中，掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法，使学生拓宽

2、眼界，扩大知识领域，提高抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学修养与技巧，以便能深入理解中学代数的内容和方法，为进一步学习其它学科创造条件。　　课程内容包括：基本概念；群；环；整环里的因子分解。　　二、课程内容与考核要求　　第一章基本概念　　本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础，也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有　　1.集合的概念与运算　　2.映射的定义与几种特殊映射的性质　　3.卡氏积与代数运算　　4.等价关系与集合的分类　　考试要求：　　掌握集合的概念与运算，掌握集合的交、并、集合的幂集的定义及表示，熟练掌握习题7、8的结

3、论；了解映射的定义与几种特殊映射的性质，掌握映射的合成，熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论；掌握代数运算的定义与判定方法，熟练掌握习题2；掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质，能够由等价关系得出集合分类，并能正确给出商集，熟练掌握习题5、6。　　第二章群　　群是具有一种代数运算的代数体系，即具有一个代数运算的集合，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。其主要内容有　　1.半群的定义及性质　　2.群的定义及等价条件　　3.元素阶的定义及性质　　4.循环群的定义及结构　　5.子群及判定条件　　6.变换群　　7.群的同态与同构、Cayley定

4、理　　8.子群的陪集、Lagrange定理　　9.正规子群与商群、正规子群的等价条件　　10.同态基本定理与同构定理　　考试要求：　　掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论；掌握群的定义及性质，如定理2.5、定理2.6及推论；熟练掌握群的一些重要例子，如例1、例3、例4、例7，熟练掌握习题2、3、6、9；掌握元素阶的定义及相关重要性质，如定理2.8、定理2.9、定理2.10，熟练掌握例1、例2；熟练掌握循环群的定义、构造及性质，如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2，熟练掌握例5、例6及习题2、3、

5、5、8、9；熟练掌握子群的定义及性质，如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5；掌握变换群的概念及有关结论，熟练掌握次对称群、循环置换的概念及性质，特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质，如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4；掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30，会求同态象与同态核，掌握习题1、2；掌握子群陪集的概念及性质，熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6，熟练掌握习题2、3、4、5；掌握正规子群的定义及等价命

6、题定理2.40，能够正确判定子群与正规子群，掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6，正确掌握商群的概念及性质（推论）；掌握并正确使用同态基本定理，熟练掌握复习题二中的第2、4题。　　第三章环　　环是具有两中代数运算的代数体系，它也是近世代数中的一个重要分支。其主要内容有　　1.环的定义；整环、除环、域的定义及性质　　2.子环及判定条件　　3.环的同态与同构　　4.理想与商环　　5.素理想与极大理想　　6.商域　　7.多项式环　　8.扩域　　9.有限域　　考试要求：　　熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题：定理3.1及推论、定理

7、3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子，如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10，掌握环的单位元、零因子的定义及性质，熟练掌握习题5、9、10、11；掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6，掌握例1、例4、例6，需要注意：子环与环在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不一定一致；掌握环的同态与同构的定义及相关性质（定理3.10、定理3.11），会求同态象与同态核，需要注意：当与满同态时，与在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系，但是并不完全一致；熟练掌握习题2、3；

8、掌握理想与商环的概念及相关命题（定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18）；熟练掌握主理想的构造（推论1），熟练掌握