上海--反正弦函数(杨丽婷)

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1、高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com反正弦函数教材：上海教育出版社高中一年级第二学期(试验本)第六章第四节教学目标1.理解学习反正弦函数的必要性；理解反正弦函数是函数的反函数而不是正弦函数的反函数；理解反正弦函数的概念，掌握符号的含义，并会用以表示角；2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质；3.会用数学思想分析和思考问题。教学重点在教师的引导下，让学生发现为什么要学习反正弦函数、怎样学习反正弦函数。真正理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。教学难点反正弦函数的产生和从

2、本质上处理正弦函数的反函数问题。教学过程一、回顾复习我们今天学习反正弦函数。三角学起源于测量，天文测量、航海测量都是利用三角形之间的边角关系来测量的。即利用比值与角之间的关系测量得到距离、高度和角度。而在测量的实际计算过程中我们经常会遇到两类相反的问题。一类是已知角值求比值，这是我们学习过的，例如，正弦函数它就是一个角值函数，任意角都有唯一确定的正弦值与之对应，即已知某一个角值都可以通过正弦函数，将其正弦值表示出。例如：，其正弦值可以表示为；，其正弦值表示为。而另一类相反的问题是已知比值求角值，例如：已知角的正弦值为，那么

3、角如何表示呢？京翰教育中心http://www.zgjhjy.com高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com（可以表示为；）如果已知角的正弦值是，那么角又如何表示呢？这就产生了怎样用正弦值表示相应角的问题？我们说正弦函数研究的是角值如何确定正弦值，角值是自变量，正弦值是因变量，而现今要解决的是正弦值如何确定相应的角值？所以，我们要反过来，由正弦函数的因变量去确定自变量。即需要我们考虑正弦函数的反函数。一、引入课题我们学习过反函数，知道反函数的概念，也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函

4、数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。那么正弦函数是否存在反函数呢？（学生作答：答案是否定的。学生说出理由：因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应。正弦函数的自变量与因变量是多对一的。故而不存在反函数。）正弦函数不存在反函数，那么怎样利用正弦函数，由正弦值确定相应的角值呢？通过一个例子来说明问题。关于的式子，可以表示的角有无数多个，为，那么这个结果从何而来？首先你能写出的满足条件的是哪个？，因为，由，还可以写出哪些满足条件的，是，为什么？（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）还有其他满足条件的吗？

5、（有！，因为根据诱导公式，所以。）通过这个例子，我们说用正弦值表示相应角值时，只要能表示出一个相应的角值就可以了。根据三角比的定义和诱导公式可以用它将其余的角值表示出。所以正弦函数不存在反函数。但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数。因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。京翰教育中心http://www.zgjhjy.com高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com那么选取怎样的区间，使得存在反函数呢？依据两个原则：（1）所取区间在该区间

6、上存在反函数；（2）能取到的一切函数值。依据这两个原则选择怎样的区间呢？学生回答、讨论，不断补充完善。（先选择，因为它包含了所有的正锐角和零角，但不符合原则（2），补上，因为取到的一切函数值，并且与是连接在一起的，且关于原点对称，应用方便）所以，选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。一、认识符号1．引进符号由于反正弦函数并不是正弦函数的反函数，而是函数，的反函数。用一个记号来表示，引进记号：。选择表示反正弦函数是有道理的。中sin是正弦，arc是什么意思呢？arc并不是“反”的意思，

7、它是英文单词，解释为“圆弧”，圆弧即圆周上的一段，那么圆弧与圆心角有什么关系呢？，在单位圆中，即，所以此时弧即角，角即弧。我们可以将arc理解作角，所以从字面上理解就是正弦值为所对应的角，因此用记反正弦函数是有道理的。表示正弦值为所对应的角，等号是“是”的意思，所以，即：正弦值为所对应的角是，是正弦值为所对应的角。因为反正弦函数是函数，的反函数。所以，自变量的取值范围就是原来函数的值域京翰教育中心http://www.zgjhjy.com高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com，因变量的取值范围就

8、是原来函数的定义域，因为是，故而，且。2．反正弦函数的值我们来看具体的例子：（1）反正弦函数值表示范围内的一个角，并且，这个角就是，即=。（2）反正弦函数值表示范围内的一个角，并且，要想知道这个角可以通过查表或计算器得到结果。而且可以解决前面上课时提出的问题：已知，如何表示？现在我们知道了，可以表示为。