小波变换及应用毕业论文

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1、小波变换以及应用引言小波分析是80年代中后期发展并成熟起来的一种信号处理分析方法，它有效完成了信号的时间与空间的局部化，对于信号处理是一个强有力的方法。图像是多媒体系统中非常重要的一部分，相当多的多媒体信息是以静止图像和动态视频图像的信息表达出来的。人们为了更好地在多媒体创作中使用图像，就必然要研究图像的压缩和如何丰富图像的表现效果。本文对小波变换做了简单的介绍并简单地介绍了小波变换在图象边缘析取、图象压缩和图象拼接和镶嵌方面的应用。小波分析的起源长期以来，无论是信号处理界，还是数学界，人们力图寻求

2、信号表示方法，综合三角函数系与Haar系两者优点的某种函数来分解任意函数。我们知道，这两个函数系在以下意义上占据了两个极端位置。三角函数系中的函数在频率即在Fourier变量域上是完全局部化的，但在空间或时间域上无任何局部性却很差，这是因为它缺乏正则性与震荡性所致。我们都曾使用过傅立叶变换，都知道傅立叶变换能把信号分解成各种频率的正弦和余弦函数，也就是说它能实现频率的局部化，但大家有是否注意到它所分解出的每个三角函数的有效域都是（-∞,+∞），也就是说它在时间域上无任何局部性可言，可是，我们所面对的

3、各种信号如图象、地震波等往往有着强烈的局部相关性，要研究处理这些相关性，就需要更好的数学工具，小波分析正是在这个背景下发展起来的。它有效地分析了信号时域与频域的局部性，成为信号分析的一个强有力的方法。所谓“小”，正是指小波函数在时域上的局部性，所谓“波”正是指小波函数的波动性也就是说在频域上的局部性。小波分析的方法的提出，可以追溯到1910年Haar提出的小“波”规范正交基及1938年Littlewood-Parley对Fourier级数建立的L-P12理论，即按二进制频率成分分组Foureier变

4、换的相位变化本质上不影响函数的形状及大小。其后，Calderon于1975年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上H1的原子分解，这个公式后来成了许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一正交系的结论。1981年Stromberg对Haar系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1982年Battle在构造量子场理论中使用了类似Calderon再生公式的展开。值得注意的是，1984年法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier变换难以达到要

5、求，因此他引入小波概念于信号分析中对信号进行分解。随后，理论物理学家Grossman对Morlet的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于1986年，当时Meyer创造性地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，其二进制伸缩与平移构成L2(R)的规范正交基。在那以前，人们或许认为具有如此好性质的小波函数时一个数学神话而对其存在性发生了动摇。事实上，Daugechies、Grossman和Meyer在此之前的工作就退而研究函数ψ及数a

6、0与b0使函数系构成L2(R)的框架的条件去了。继Meyer提出小波变换以后，Lemarie和Battle又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按小波变换及重构，从而成功地统一了在此之前的Stromberg、Meyer和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法——现今称之为Mallat算法有效地应用于图象分解与重构。与此同时，Daubechies构造了具有

7、有限支集的正交小波基这样，小波分析的系统理论初步得到建立。1988年，Arneodo及Grasseau等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究遄流及分形生长现象。1990年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生长函数及相应的小波函数。也是1990年Beylkin,Coifman等将小波变换应用于算子理论。1991年，Jaffard及Laurencot将小波变换应用于偏微分方程数值解，而Wickerhanser等将Mallat算法进一步深

8、化，得到了小波包算法。其后，秦前清将小波变换作为研究分形理论的工具，并于1992年初指导刘军将小波变换运用于分形地貌图预处理并取得了令人满意的效果。12小波变换定义及其性质定义1设且，则按如下方式生成的函数族{ψa,b}（1）叫分析小波（AnalyzingWavelet）或连续小波，ψ叫基本小波或母小波（MotherWavelet）。若ψ使双窗函数(Double-windowFunction)。就叫ψ为窗口小波函数，今后我们恒假定ψ为窗口小波函数。连续小波提供的局部化