考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

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1、考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点形如上式的积分，叫做变限积分。注意点：1、在求导时，是关于x求导，用课本上的求导公式直接计算。2、在求积分时，则把x看作常数，积分变量在积分区间上变动。（即在积分内的x作为常数，可以提到积分之外。）关于积分上限函数的理论定理1如果在上连续，则在（a，b）上可积，而可积，则在上连续。定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在（a，b）上可积。定理3如果在上连续，则在上可导，而且有==========================================注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对作变上限积分后得

2、到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是连续的。（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。重要推论及计算公式：6推论1<变上限积分改变上下限，变号。>推论2<上限是复合函数的情况求导。>推论

3、3<上下限都是变的时候，用上限的减去下限的。>题型中常见积分限函数的变形和复合情况：（1）比如(被积函数中含x,但x可提到积分号外面来.)在求时，先将右端化为的形式，再对求导。分离后左边的部分要按照(uv)＇=u＇v+uv＇进行求导！（重点）（2）比如(f的自变量中含x,可通过变量代换将x置换到f的外面来)在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数），此时，，时，；时，，这样，就化成了以作为积分变量的积分下限函数：，然后再对x求导。(3)比如(这是含参数x的定积分,可通过变量代换将x变换到积分限的位置上去)在求时，先对右端的定积分做变量代换（把

4、看作常数），此时，，时，；时，，于是，就化成了以作为积分变量的积分上限函数：，然后再对x求导。有积分限函数参与的题型举例（1）极限问题：例1（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）例2（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=<

5、sinx

6、=<1。答：6）例3已知极限，试确定其中的非零常数（答：）（1）求导问题例4已知求(参数方程，你懂的！答:)例5已知求(答:)例6求(答:)例7设在内连续且求证在内单调增加.（同济高数课本Unit5-3例题7）（2）最大最小值问题例8在区间上求一点,使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.Oey=lnxxy1

7、1(提示:先将面积表达为两个变限定积分之和:,然后求出,再求出其驻点.答:.)6例9设，为正整数.证明的最大值不超过(提示:先求出函数的最大值点,然后估计函数最大值的上界.)(4)积分问题例10计算，其中.(提示:当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时,总是用分部积分法求解,且取为积分上限函数.答:)例11设在内连续,证明(提示:对右端的积分施行分部积分法.)例12设求在内的表达式.(说明:这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到.求表达式时,注意对任一取定的,积分变量在内变动.答:)(5)含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分

8、方程）的求解问题例13设函数连续，且满足求(答:)（说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求解.注意初值条件隐含在积分方程内.答:）例14设为正值连续函数,且对任一,曲线在区间上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积,求此曲线方程.6(说明:根据题设列出的方程将含有的积分上限函数.答:(6)利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等.例15设均在上连续,证明以下的Cauchy-Swartz不等式:说明:本题的通常证法是从不等式出发,由关于的二次函数非负的判别条件即可证得结论.但也可构造一个积分上限函数,利用该函数的单调

9、性来证明.提示如下:令则求出并证明从而单调减少,于是得由此可得结论.这种证法有一定的通用性.例如下例.例16设在[0,1]上连续且单调减少.证明:对任一有(提示:即证于是作只需证单调减少即可得结论.)利用积分上限函数构造辅助函数,还常用于证明与微分中值定理有关的某些结论.比如下题.例17设在上连续.求证:存在,使.(提示:令.对在上用Rolle定理即可证得结论)关于积分限函数的奇偶性与周期性定理4设连续，.如果是奇（偶）函数，则是偶（奇）函数；如果是周期为的函数，且,则是相同周期的周期函数.证设奇,则,即为偶函数.6设偶,则,即为奇函数.若，则,即

10、为周期为T的周期函数.例18设在内连续,.证明:(a)如果是偶函数,则也是偶函数;(b)如果是单调减少函数,则也是单调减少