用量纲和全微分积分法分析物体自球面顶端滑下问题

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1、用量纲和全微分积分法分析物体自球面顶端滑下问题摘要：在物理教学中，常见到质点自光滑球面顶端滑下的问题．其中它所涉及到的物理知识也比较广，有动量守恒，能量守恒，向心力，摩擦力等等．而对于物体与球面间有摩擦的问题，又该如何分析？有什么规律呢？本文将采用量纲分析、全微分积分法和一般方法等进行研究，并分析质点自光滑球面顶端滑下的几种情况．以便能够使此类题目的解决方法多样化、以及该从什么地方下手和切入进行分析有一定的了解．在增强同学的创新意识和实践能力的同时也能够充分掌握量纲法和全微分积分法的解题思路以及技巧等．关键词：球面顶端；量纲；全微

2、分积分法１量纲及全微分积分法的表述1.1量纲分析　物理量的量纲可以用来分析或检核几个物理量之间的关系，这方法称为量纲分析（dimensionalanalysis）。通常，一个物理量的量纲是由像质量、长度、时间、电荷量、温度。一类的基础物理量纲结合而成。例如，速度的量纲为长度每单位时间，而计量单位为米每秒、英里每小时或其它单位。量纲分析所根据的重要原理是，物理定律必需跟其计量物理量的单位无关。任何有意义的方程式，其左手边与右手边的量纲必需相同。检查有否遵循这规则是做量纲分析最基本的步骤。推导获得的方程式或计算结果是否基本上合理，惯常

3、可以用量纲分析来检察。对于较复杂的物理状况，量纲分析也可以用来构筑合理假定(参见关联模型)，然后，做严格的实验加以测试，或用已发展成功的理论仔细检试。量纲分析能够按照各种物理量的量纲，将它们详细分类。任何物理方程都由物理量组成，任何物理量都有一定的量纲。量纲有两类：一类是基本量纲，它们是彼此独立，不能互相导出的，必须人为地设定；另一类是导出量纲，由基本量纲导出。1.2全微分积分法在常微分方程理论的形成过程中,求解一阶微分方程曾出现过许多方法,如分离变量法、变量替换法、常数变易法以及积分因子法等等。其中尤以积分因子法出现的最晚,而作

4、用也最大。在教学中注意积分因子法在求解一阶微分方程中的重要作用是必要的在学习常微分方程理论时，总是对不同类型的方程给出不同的解法。能否有一种普遍的方法能解各种类型的微分方程呢?著名的美国数学史家M.克莱因在所著的《古今数学思想》中写到：“总的来说，这门学科还是各种类型的孤立技巧的汇编”，然而寻求普片解法的努力从十八世纪就没有停止过。Euler在1734/1735的论文中指出：凡是可用变量分离法的地方都可以用积分因子法。由此笔者对教材中常见类型的一阶常微分方程，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程等，讨论用“积

5、分因子法’求解的一般方法。2物体自球面滑下的常见问题【例1】如图1所示，一个质量为m的物块，在重力作用下自一半径为r的固定球面的最高点无初速度滑下。若质点与球面间的摩擦因数为µ，求质点离开球面时，它与球心的连线和竖直方向夹角θ所满足的关系？rO图1物体从球面顶点滑下Figure1blockfromthesphericalvertexslidedown解析：（1）量纲分析法质点下滑过程中，假定θ与质量m，半径r，重力加速度g，摩擦因数µ有关，即θ=ƒ（m,r,g,µ）因为θ是一个无量纲的量，因此θ与µ一个参量有关，即θ=ƒ（µ）（2

6、）全微分积分法物体下滑过程中，在球面上受重力、支持力和摩擦力，由于其速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面时减小到零。由牛顿第二定律得法向方程（1）由动能定理得(²)（2）消去N得（3）式（3）不是全微分方程。把式（3）记为由于与无关，故有积分因子设形成的积分因子以乘式（3）两端，得全微分方程（4）对上式积分得方程的通解为（5）且当t=0时，将θ=0，带入上式，可得（6）所求方程的通解为（7）质点离开球面时，N=0，由式一得将上式带入（7）得（8）即θ所满足的关系（9）式（9）满足量纲分析得到的结论即θ只以有关。讨论：若质点

7、与球面间无摩擦=0时得（10）（11）即θ所满足的关系（12）3物体从球面顶点下滑的理想化问题关于物体从球面顶点下滑的问题，它不仅知识的覆盖面比较广同时它的出题方式也可以多种多样。对于同一个球面它可以分为有摩擦力和没有摩擦力两种情况。而对于物体从球面顶点下滑，它也可以分为有初速度下滑和从静止开始下滑两种不同的情况。下面就让我们来了解一下物体从光滑球面无初速度滑下的问题也就是物体从球面顶点下滑的理想化问题【例2】小物体自半径为R的光滑球面顶点从静止开始下滑，求：（1）物体脱离球面时它与球心的连线与竖直方向夹角为θ；（2）小物体落到地

8、面时的速度v解析：小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑，从运动学角度看，物体先做圆周运动，脱离后做抛体运动。从动力学角度看，物体在球面上受重力和支持力，物体下滑过程中，由于它的速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面减小到零。小物体即将脱离球面的