高三文科数学一轮复习之平面向量

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1、向量复习知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设，则+==（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实

2、数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：8，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。2平面向量的坐标运算：(1)若，则(2)若，则(3)若=(x,y)，则=(x,y)(4)若，则(5)若，则若，则三．平面向量的数量积1两个

3、向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立：；6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：8②对实数的结合律成立：③分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=

4、00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥10两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量数量积的性质题型一：向量的概念与几何运算〖例1〗出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且∥；⑤若∥，∥，则∥。其中，正确命题的序号是____________答案：②③。〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)8图1－2A．0　B．　　C．.　D．【解析】＋＋＝＋－＝－＝，所以选D.〖例3〗（2011届杭二模）已知非

5、零向量a，b满足

6、a+b

7、=

8、a–b

9、=

10、a

11、，则a+b与a–b的夹角为（）A．B．C．D．答案：B〖例4〗已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.①若共线，则可为任意实数；②若不共线，则有，解之得，.综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.【小结】：1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．4．向量加

12、法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．题型二：平面向量的坐标运算〖例1〗设＝(ksinθ,1)，＝(2－cosθ,1)(0<θ<π)，∥，求证：k≥．8证明:k＝∴k－＝≥0∴k≥〖例2〗（2011稽阳联考）已知向量均为单位向量，它们的夹角为，实数、满足，则的取值范围是　　　．解：由已知，．因关于的方程有解，故．〖例3〗已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，

13、－

14、＝，求cos(α－β)的值．解:

15、－

16、＝＝cos＝cos(α－β)＝〖例4〗（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝_

17、_______.【解析】由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A，D(0,0)，B，E，故＝，＝，所以·＝－×＝－.〖例5〗在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．AMBCDP(1)若＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当

18、

19、＝

20、

21、时，求点P的轨迹．解：(1)设点C的坐