高三文科数学一轮复习之平面向量

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1、数学讲义之平面向量【主干内容】1．⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得．⑵设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是．2．平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作．并且

2、

3、＝．3．平面向量的坐标运算：若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：＋＝－＝λ＝4.向量的数量积的几何意义：

4、

5、cosθ叫做向量在方向上的投影(θ是向量与

6、的夹角)．·的几何意义是，数量·等于．5．向量数量积的运算律：·＝；(λ)·＝＝·(λ)；(＋)·＝总结：学习向量在基础知识掌握前提下，必须要考虑数形结合的思想。在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。【题型分类】题型一：向量的概念与几何运算〖例1〗出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且∥；⑤若7

7、∥，∥，则∥。其中，正确命题的序号是____________答案：②③。〖例2〗（2011四川）如图1－2，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)图1－2A．0　B．　　C．.　D．【解析】＋＋＝＋－＝－＝，所以选D.〖例3〗（2011届杭二模）已知非零向量a，b满足

8、a+b

9、=

10、a–b

11、=

12、a

13、，则a+b与a–b的夹角为（）A．B．C．D．答案：B〖例4〗已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.①若共线，则可为任意实数；②若不共线，则有，解之得，.综上

14、，共线时，则可为任意实数；不共线时，.【小结】：1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明．2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．题型二：平面向量的坐标运算7〖例1〗设＝(ksinθ,1)，＝(2－cosθ,1)(0<θ<π)，∥，求证：k

15、≥．证明:k＝∴k－＝≥0∴k≥〖例2〗（2011稽阳联考）已知向量均为单位向量，它们的夹角为，实数、满足，则的取值范围是　　　．解：由已知，．因关于的方程有解，故．〖例3〗已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，

16、－

17、＝，求cos(α－β)的值．解:

18、－

19、＝＝cos＝cos(α－β)＝〖例4〗（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.【解析】由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A，D(0,0)，B，E，

20、故＝，＝，所以·＝－×＝－.〖例5〗在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P．AMBCDP(1)若＝(3，5)，求点C的坐标；(2)当

21、

22、＝

23、

24、时，求点P的轨迹．解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)，得x0＝10y0＝6即点C(10，6)(2)∵∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36(y≠1)7∵M为AB的中点∴P分的比为设P(x，y)，由B(7，1)则D(3x－14，3y－2)∴点P的轨迹方程为【小结】：1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的

25、互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．题型三：平面向量的数量积〖例1〗已知向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－．(1)若a⊥b，求；(2)求

26、＋

27、的最大值．解：(1)若，则即而，所以(2)当时，的最大值为〖例2〗（2011全国）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.【解析】由题意，得(a＋b)·

28、(ka－b)＝k2－a·b＋ka·b－2＝k＋(k－1)a·b－1＝(k－1)(1＋a·b)＝0，因为a与b不共线，所以a·b≠－1，所以k－1＝0，解得k＝1.〖例3〗（2011浙江）若平面向量α，β满足

29、α

30、＝1，

31、β

32、≤1，且以