有限元与有限差分法基础

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1、有限元法基础及有限差分法基础有限元法有限差分法有限元法基础有限元发展过程有限元应用有限元发展方向有限元法的基本思想基本思想1）将连续的求解系统离散为一组由节点相互联在一起的单元组合体2）在每个单元内假设近似函数来分片表示系统的求解场函数有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法的基本思想有限元法的基本思想离散为单元网格的冲压件仍然要保证是一个连续体，单元与单元之间没有裂缝、不能重叠，所有单元通过单元节点相互关联着板料无论产生多大的塑性变形，单元与单元之间依然不会产生裂缝、交叉和重叠，关联单元的节点也不能脱开有限元法的基本

2、思想不合格单元单元裂缝单元重叠有限元法的基本思想变形前后单元之间都是连续的变形前的网格变形后的网格有限元法的基本思想基本思想通过在单元内假设不同的插值函数，建立不同的单元模型，适应各种各样的变形模式和受力模式XFXF有限元法的基本思想有限元法分类1）位移法：基于最小势能原理或虚功原理2）力法：基于最小余能原理3）杂交法：基于修正余能原理4）混合法：基于Reissner变分原理有限元法的基本思想位移法基本过程1）离散化过程3）约束处理过程2）单元平衡方程组装过程5）应变、应力回代过程4）方程组求解过程离散化过程最小势能原理弹性体的势能为弹性体

3、变形后所具有的内能为弹性体所受的外力功离散化过程为弹性体的应变为弹性体的应力u为弹性体的可容位移弹性体处于平衡状态时，其势能应为最小0离散化过程单元插值关系单元几何关系单元本构关系N为单元形函数矩阵L为单元几何微分算子为单元弹性矩阵单元节点自由度向量离散化过程B称为应变矩阵单元平衡方程或单元刚度方程k称为单元刚度矩阵f称为单元载荷向量单元刚度矩阵的特性对称性奇异性主元恒正且对角占优离散化过程线弹性问题几何方程—三维问题三维问题线弹性问题几何方程—二维问题二维问题平面应力和平面应变状态线弹性问题几何方程—二维问题二维问题轴对称状态线弹性问

4、题几何方程—一维问题一维问题线弹性问题本构方程—三维问题三维问题E为弹性模量；为泊松比线弹性问题本构方程—平面应力二维问题平面应力状态线弹性问题本构方程—平面应力平面应力状态线弹性问题本构方程—平面应变二维问题平面应变状态线弹性问题本构方程—平面应变平面应变状态线弹性问题本构方程—轴对称二维问题轴对称状态线弹性问题本构方程—轴对称二维问题轴对称状态线弹性问题本构方程—轴对称轴对称状态线弹性问题本构方程—一维问题一维问题常用单元模型单元模型插值关系一一对应单元类型一维单元、二维单元、三维单元等参单元、超参单元、次参单元常用单元模型一维单元2

5、节点线单元3节点线单元梁单元常用单元模型二维单元3节点三角形线性单元6节点三角形二次单元常用单元模型二维单元10节点三角形三次单元4节点四边形双线性单元常用单元模型二维单元8节点四边形二次单元12节点四边形三次单元常用单元模型三维单元4节点四面体线性单元10节点四面体二次单元常用单元模型三维单元8节点六面体线性单元20节点六面体二次单元常用单元模型准三维空间单元桁架单元一维2节点线单元+单元局部随体坐标系为什么要建立单元局部随体坐标系？简化分析问题的复杂程度。在局部坐标系中，空间桁架的每根杆每变成了一维2节点线单元常用单元模型准三维空间单元

6、框架单元三维梁单元+一维2节点线单元+单元局部随体坐标系两端都是刚性联结可以要承受拉压、弯曲、扭转3种变形模式框架单元的特点常用单元模型准三维空间单元板单元薄板单元中厚板单元弯曲和横向剪切2种变形模式抵抗板的变形如果板很薄，忽略横向剪切抗力，认为抵抗载荷的主要因素是弯矩常用单元模型准三维空间单元壳单元抵抗拉压变形的二维单元+板单元+单元局部随体坐标系。适合于薄壳单元和中厚壳单元从几何上分为薄壳单元和中厚壳单元①组合单元常用单元模型准三维空间单元②壳理论单元由空间壳理论严格构造的壳单元。适合于薄壳单元和中厚壳单元③退化单元由三维实体单元退化成

7、的壳单元。只适合于中厚壳单元单元模型构造有限元法的基本思想通过单元分片近似，在每个单元内假设近似函数来分片表示系统的场函数选择近似函数简单、实用的原则在有限元法中，近似函数称为插值函数单元模型构造插值函数一般都采用多项式函数，主要原因是:采用多项式插值函数比较容易推导单元平衡方程，特别是易于进行微分和积分运算。随着多项式函数阶次的增加，可以提高有限元法的计算精度。从理论上说，无限提高多项式的阶数，可以求得系统的精确解。单元模型构造方法整体坐标系法局部坐标系法Lagrange插值方法Hermite插值方法单元模型构造方法2节点线单元12oxu

8、1u2x1x2ux1.假设插值多项式2.利用节点值求a0和a1单元模型构造方法3.代入a0和a1，得插值多项式u(x)4.按u1和u2合并同类项，设l=x2-x1单元模型构造方法