人教b版2017年必修五：2.3.2《等比数列的前n项和》示范学案（含答案）

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1、人教B版2017年必修五示范学案2.3.2　等比数列的前n项和1．理解等比数列的前n项和公式的推导过程．2．掌握等比数列的前n项和公式，并能用它解决有关等比数列问题．1．等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式(1)在求等比数列{an}的前n项和公式时，应分q＝1和q≠1两种情况，若题目中没有指明，切不可忘记对q＝1这一情形的讨论．(2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量，即a1，an，q，n，Sn，通常已知其中三个量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二”．【做一做1－1】在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5

2、＝44，则a1的值为(　　)．A．4　　　B．－4C．2D．－2【做一做1－2】在等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)．A．81B．120C．168D．1922．等比数列前n项和的常用性质性质(1)：在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则依次每k项的和构成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列，其公比为________．性质(2)：在等比数列{an}中，若项数为2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝____.性质(3)：数列{an}是公比为q的等比数列，

3、则Sm＋n＝Sn＋__________.【做一做2】已知等比数列{an}，Sn是其前n项和，且S3＝7，S6＝63，则S9＝________.一、错位相减法的实质及应用剖析：(1)用错位相减法求等比数列前n项和的实质是把等式两边同乘等比数列的公比q，得一新的等式，错位相减求出Sn－qSn，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出Sn.当q＝1时，Sn＝na1，当q≠1时，Sn＝.这是分段函数的形式，分段的界限是q＝1.(2)对于形如{xn·yn}的数列的和，其中{xn}为等差数列，{yn}为等比数列，也可以用错位相减法求和．错位相减法实际上是把一个数列求

4、和问题转化为等比数列求和的问题．(3)利用这种方法时，要注意对公比的分类讨论．人教B版2017年必修五示范学案二、等比数列的前n项和公式的推导(首项为a1，公比q≠1)剖析：除了书上用到的错位相减法之外，还有以下方法可以求等比数列的前n项和．(1)等比性质法∵＝＝＝…＝＝q，∴＝q，即＝q，解得Sn＝＝.(2)裂项相消法Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝.(3)拆项法Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＝a1＋q(a1＋a1q＋a1q2

5、＋…＋a1qn－2)＝a1＋q(a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1－a1qn－1)，∴Sn＝a1＋q(Sn－a1qn－1)＝a1＋q(Sn－an)．解得Sn＝＝.三、教材中的“？”例2中，有别的解法吗？将这个数列的前8项倒过来排，试一试．剖析：∵S8＝27＋26＋25＋…＋2＋1，∴S8＝1＋2＋22＋…＋26＋27＝＝28－1＝255.此题说明了在一个等比数列{an}中，若为有限项，如a1，a2，…，an，则an，an－1，…，a2，a1也是等比数列，其公比为原数列公比的倒数．题型一等比数列的前n项和公式的应用【例1】在等比数列{a

6、n}中，(1)已知a1＝3，q＝2，求a6，S6；(2)已知a1＝－1，a4＝64，求q和S4；(3)已知a3＝，S3＝，求a1，q.分析：在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，q，n，Sn，只要已知任意三个，就可以求出其他两个．反思：在等比数列{an}中，首项a1与公比q是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a1，q的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前n项和公式时，要考虑q是否等于1.人教B版2017年必修五示范学案题型二等比数列的前n项和的性质

7、的应用【例2】在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30.分析：可以利用解方程组解决，也可以利用等比数列的前n项和的性质来解决．反思：由于等比数列中，无论是通项公式还是前n项和公式，均与q的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的，在解方程组时经常利用两式相除，达到整体消元的目的．题型三某些特殊数列的求和【例3】(1)已知数列{an}的通项公式an＝2n＋n，求该数列的前n项和Sn；(2)已知数列{an}的通项公式an＝n·2n，求该数列的前n项和Sn.分析：(1)所给数列虽然不是等差数列

8、或等比数列，但在求该数列的前n项和时可以把an看成一个等比数列和一个等差数列的和