2017-2018学年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案第二章 章末复习课

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1、2017-2018学年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案章末复习课[对应学生用书P37][对应学生用书P38]将参数方程化为普通方程将参数方程化为普通方程的考查有三个热点考向，其一给出参数方程，直接化为普通方程；其二给出参数方程研究其形状、几何性质，则需化为普通方程定形状，研究其几何性质，其三，在用参数法求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．[例1]　在平面直角

2、坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．[解析]　由得y＝，又由得x2＋y2＝2.由得即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．[答案]　(1,1)[例2]　已知曲线C的参数方程为162017-2018学年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．[解]　因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0.[例3]　已知参数方程(t≠0)．(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示的曲线是什么？[解

3、]　(1)当t≠±1时，由①得sinθ＝，由②得cosθ＝.∴＋＝1.它表示中心在原点，长轴长为2

4、t＋

5、，短轴长为2，焦点在x轴上的椭圆．当t＝±1时，y＝0，x＝±2sinθ，x∈[－2,2]，它表示在x轴上[－2,2]的一段线段．(2)当θ≠(k∈Z)时，由①得＝t＋.由②得＝t－.平方相减得－＝4，即－＝1，它表示中心在原点，实轴长为4

6、sinθ

7、，虚轴长为4

8、cosθ

9、，焦点在x轴上的双曲线．当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示y轴；当θ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝0，x＝±(t＋)．∵t＋≥2(t＞0时)或t＋≤－2(t＜0时)，∴

10、x

11、≥2.∴方程为y＝0(

12、x

13、≥2)，它表示

14、x162017-2018学年高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的向左、向右的两条射线．[例4]　已知线段

15、BB′

16、＝4，直线l垂直平分BB′交BB′于点O，并且在l上O点的同侧取两点P，P′，使

17、OP

18、·

19、OP′

20、＝9，求直线B′P′与直线BP的交点M的轨迹．[解]　如图，以O为原点，l为x轴，BB′为y轴，建立直角坐标系xOy.依题意，可知B(0,2)，B′(0，－2)，又可设P(a,0)，P′，其中a为参数，可取任意非零的实数．直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1.两直线方程化简为解得直线BP与B′P′的交点坐标为(a为参数)，消去

21、参数a，得＋＝1(x≠0)．∴所求点M的轨迹是长轴为6，短轴为4的椭圆(除去B，B′点).直线参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，因此是高考重点考查的一个考点，主要考查直线参数方程在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中的应用，在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．[例5]　如图，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：162017-2018学年高中数学北师大版选修4

22、-4同步配套教学案(1)P，M两点间的距离

23、PM

24、；(2)线段AB的长

25、AB

26、.[解]　(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，设直线的倾斜角为α，tanα＝，sinα＝，cosα＝，∴直线l的参数方程为(t为参数)．∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.设这个二次方程的两个根分别为t1，t2，由根与系数的关系，得t1＋t2＝，t1t2＝－，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

27、PM

28、＝＝.(2)

29、AB

30、＝

31、t2－t1

32、＝＝.[例6]　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数

33、)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B.若点P的坐标为(3，)，求

34、PA

35、＋

36、PB

37、.[解]　(1)由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(3)2－4×4＝