2018年北师大版高中数学选修2-2同步优化指导第1章4数学归纳法活页作业4

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1、北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案活页作业(四)　数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2　　　　　　　　B．3C．5D．6解析：当n取1,2,3,4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5.答案：C2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式(　　)A．1＋＜2B．1＋＋＜2C．1＋＋＜3D．1＋＋＋＜3解析：∵n＞1且n∈N＋，∴n取的第一个值n0＝2.∴第一步应验证：1＋＋＜2.答

2、案：B3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　)A．Sk＋B．Sk＋＋C．Sk＋－D．Sk＋－解析：Sk＋1＝＋＋…＋＋＋＝Sk＋＋－＝Sk＋－.答案：C4．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则n＝1时f(n)是(　　)A．1B．7北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案C．1＋＋D．以上答案均不正确解析：∵f(n)共有2n＋1项，∴当n＝1时有2＋1＝3项，即f(1)＝1＋＋.答案：C5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当

3、n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析：观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2－n＋1.答案：D6．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N＋)时，第一步验证当n＝1时，左边应取的项为________．解析：当n＝1时，左边要从1加到n＋3，即1＋2＋3＋4.答案：1＋2＋3＋47．已知每项都大于零的数列{an}中，首项a1＝1，前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n≥2)，则a81＝________.解析：∵Sn－Sn－1＝2，S1＝a1＝1，∴S2＝9，S3＝25，…，Sn＝(2n－1)2.利用

4、数学归纳法可证明Sn＝(2n－1)2.∴a81＝S81－S80＝640.答案：6408．已知f(n)＝1＋＋＋…＋，n∈N＋，用数学归纳法证明f(2n)＞时，f(2n＋1)－f(2n)＝_____________.解析：f(n)有n项，最后一项为，7北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案f(2n)有2n项，最后一项为，f(2n＋1)有2n＋1项，最后一项为，∴f(2n＋1)比f(2n)多出的项为＋＋…＋.答案：＋＋…＋9．设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归

5、纳法证明你的结论．(1)解：因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝，a3＝f(a2)＝，a4＝f(a3)＝.猜想an＝(n∈N＋)．(2)证明：①易知，当n＝1时，由猜想知正确．②假设当n＝k时正确，即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝＝＝＝.这说明，当n＝k＋1时也正确．由①②，可知对于任何n∈N＋，都有an＝.10．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N＋)，并用数学归纳法证明你的结论．解：当n＝1时，21＋2＝4＞12，当n＝2时，22＋2＝6＞22，当n＝3时，23＋2＝10＞32，当n＝4时，24＋2＝18＞42，由此可以猜想，2n＋2＞n2(n∈N＋)成立．7北师大版

6、2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，∴左边＞右边，不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，∴左边＞右边，不等式成立．当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，∴左边＞右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2，那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2，即证k2－2k－3≥0，即证(k＋1)(k－3)≥0.又∵k＋1＞0，k－3≥0

7、，∴(k＋1)(k－3)≥0.∴当n＝k＋1时，结论成立．由(1)和(2)，可知n∈N＋时，2n＋2＞n2.11．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为(　　)A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)B．34·34k＋1＋52·52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：当n＝k时，34k＋1＋52k＋1可被8整除；当n＝k＋1时，34(k