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时间:2018-08-07
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1、高考总复习高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解一、选择题1.(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)=x3-ax2+x在x=1处的切线与直线y=2x平行,则a=( )A.0B.1C.2D.3[答案] B[解析] 由条件知,f′(1)=3×12-2a×1+1=2,∴a=1.(理)(2010·芜湖十二中)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( )A.4B.-C.2D.-[答案] A[解析]
2、∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,∴g′(1)=2,∵f(x)=g(x)+x2,∴f′(x)=g′(x)+2x,∴f′(1)=g′(1)+2=4.2.把长100cm的铁丝分成两段,各围成一个正方形,当两正方形面积之和最小时,两段长分别为( )A.20,80B.40,60C.50,50D.30,70[答案] C[解析] 设一段长为x,则另一段长为100-x,∴S=()2+()2=[x2+(100-x)2]=(2x2-200x+10000)令S′=0得(4x-200)=0,∴x=50
3、.3.在内接于半径为R的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( )A.和RB.R和RC.R和RD.以上都不对[答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x,则另一边长为2,则l=2x+4 (0<x<R),含详解答案高考总复习l′=2-,令l′=0,解得x=R.当0<x<R时,l′>0;当R<x<R时,l′<0.所以当x=R时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为R,R.4.(文)圆柱的表面积为S,当圆柱体积最大时,圆柱的底面半径为( )A.B.C.D.3π·[答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r,
4、高为h,∴S=2πr2+2πrh,∴h=又V=πr2h=,则V′=,令V′=0得S=6πr2,∴h=2r,r=.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为( )A.RB.2RC.RD.R[答案] C[解析] 设圆锥的高为h,底面半径为r,则R2=(h-R)2+r2∴r2=2Rh-h2∴V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3V′=πRh-πh2,令V′=0得h=R.5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为( )A.cmB.cmC.cmD.cm[答案] D[解析]
5、设圆锥的高为x,则底面半径为,含详解答案高考总复习其体积为V=πx(400-x2) (0<x<20),V′=π(400-3x2),令V′=0,解得x=.当0<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0所以当x=时,V取最大值.6.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系是R=则总利润最大时,每年生产的产品是( )A.100B.150C.200D.300[答案] D[解析] 由题意,总成本为C=20000+100x.所以总利润为P=R-C=P′
6、=令P′=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.7.(文)(2010·安徽合肥市质检)函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上f′(x)≤0,在(-∞,0)上f′(x)≥0,故选D.(理)如图,过函数y=xsinx+cosx图象上点(x,y)的切线的斜率为k,若k=g(x),则函数k=g(x)的图象大致为( )[答案] A含详解答案高考总复习[解析]
7、 ∵y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,∴k=g(x)=xcosx,易知其图象为A.8.(2010·鞍山一中)函数f(x)=ax3+ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是( )A.a>-B.--D.-≤a≤-[答案] B[解析] f′(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1)有两个零点-2和1,故由题设条件知-2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个极小值点,∵f(x)的图象经过4个象限,∴f(-2)·f(1)<0,∴<0,∴-8、.9.(2010·泰安质检)已知非零向量a,b满足:9、a10、=211、b12、,若函数f(x)=x3+13、a14、x2+a·bx在R上有极值,设向量a,b的夹角为θ,则cosθ的取值范围为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵函数f(x)在R上有极值,∴f′(x)=x2+15、a16、x+a·b=0有两不等实根,∴Δ=17、a18、2-419、a20、·21、b22、cosθ=423、b24、2-825、b26、2cosθ>0,∴cosθ<,∴选D.[
8、.9.(2010·泰安质检)已知非零向量a,b满足:
9、a
10、=2
11、b
12、,若函数f(x)=x3+
13、a
14、x2+a·bx在R上有极值,设向量a,b的夹角为θ,则cosθ的取值范围为( )A.B.C.D.[答案] D[解析] ∵函数f(x)在R上有极值,∴f′(x)=x2+
15、a
16、x+a·b=0有两不等实根,∴Δ=
17、a
18、2-4
19、a
20、·
21、b
22、cosθ=4
23、b
24、2-8
25、b
26、2cosθ>0,∴cosθ<,∴选D.[
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