德·梅尔问题与赌博中的概率

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1、1数学文化第二章第二节德·梅尔问题与赌博中的概率赌博中的概率一、随机事件二、概率的起源三、赌博中的概率四、期望效用理论中的悖论五、离散型年金NankaiUniversity偶然与必然北宋天历、皇佑年间，大将狄青奉旨征讨反贼侬智高.NANKAIUNIVERSITY在众人瞩目下狄青举手一挥，把铜币全部扔在地上，结果一百个铜币居然全部是钱面朝上。将士们士气大振，一举歼灭敌军。这真的是“天意”吗？偶然与必然必然事件和随机事件太阳从东方升起明年的今天要下雨投掷一枚均匀的硬币正面朝上大量重复试验中，随机事件的发生具有某

2、种规律性。故虽“天有不测风云”，仍可以“预报”天气。NANKAIUNIVERSITY偶然中的必然大量的偶然事件中蕴藏着必然的规律。实验人投掷次数出现正面正面出现频率狄摩根204810610.5181布丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005NANKAIUNIVERSITY福尔摩斯与跳舞的小人儿福尔摩斯探案集里有个跳舞小人的故事大家是否还记得？NANKAIUNIVERSITY福尔摩斯与跳舞的小人儿26个英文字母出现的频率A0.082E0.127I

3、0.070B0.015F0.022J0.002C0.028G0.020K0.008D0.043H0.061…………NANKAIUNIVERSITY福尔摩斯与跳舞的小人儿小人对应的字母NANKAIUNIVERSITY概率的起源概率的历史源于中世纪的赌博问题。意大利修道士帕乔利在1494年出版的书中介绍了被称为“problemofpoints”的赌博问题。假如在一场比赛中胜6局才算赢，那么，两个赌徒在一个胜5局，另一个胜2局的情况下中断赌博，赌金应该怎样分配？帕乔利本人的看法是，应按照5与2的比，把赌金分给两个

4、人。这种分配方法对吗？NANKAIUNIVERSITY概率的起源1651年，帕斯卡[Pascal]在旅行途中偶然遇到了赌徒德•美尔。后者提出了这样一个问题：一次德•美尔和赌友掷骰子，各押注32个金币；德•美尔若先掷出3次“6”点就算德•美尔赢，若对手先掷出3次“4”点就算对手赢。赌博进行了一段时间，德•美尔已经掷出了两个“6”而对手才掷出一个“4”，此时，德•美尔奉命晋见国王，赌局中断。赌金如何分配？NANKAIUNIVERSITY概率的起源德•美尔的对手主张自己分得总赌金的1/3，德•美尔分得总赌金的2/

5、3.德•美尔主张自己分得总赌金的3/4，而对手只能分得总赌金的1/4.德•美尔向帕斯卡询问，到底如何分配赌金是公平的？NANKAIUNIVERSITY概率的起源帕斯卡为此苦想了好一段时间，1654年，帕斯卡得到一些系统性的结论，并与他的朋友费马书信交流，成为概率论的实质性出发点。荷兰数学家惠更斯也参与进了这个讨论，并于1657年出版了一本书，名为《论赌博中的计算》。这本书至今被公认为概率论的第一部著述。NANKAIUNIVERSITY赌博中的概率古典概型（等可能概型）投掷一个骰子，出现点数6的概率为1/6.

6、于是甲（德•美尔）在第四局赌博中获胜的概率为1/2甲在第四局落败在第五局获胜的概率为(1/2)×(1/2)=1/4于是甲最终获胜的概率为NANKAIUNIVERSITY赌博中的概率于是赌金“公平”的分配方式是NANKAIUNIVERSITY“公平”一词在赌博中的含义是什么？假如你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负责打扫寝室，如果出现2至6点则明天由你来打扫寝室，如果出现点数1则明天由他来负责打扫，你认为此次“赌博”是否是“公平”的？赌博中的概率现在我们把刚才的那场“赌博”中的“赌注”改一下。还

7、是你和一个同学决定用一次投掷骰子的结果来决定由谁来负责打扫寝室，这次是如果出现2至6则明天由你来打扫寝室，如果出现点数1则后面五天都由他来负责打扫，你认为此次“赌博”是否是“公平”的？事实上，赌博的公平性是和概率中的一个概念“数学期望”密切相关的。NANKAIUNIVERSITY赌博中的概率设X是离散型随机变量，它的概率函数是:P(X=xk)=pk,k=1,2,…,定义X的数学期望为NANKAIUNIVERSITY如果在一次赌博中，每个赌徒赢得的赌金的数学期望都是零，则这次赌博是公平的。赌博中的概率比如对于

8、第一次赌博，我们将你赢得的劳动天数记为随机变量X，则它的概率分布为：X-11P1/65/6NANKAIUNIVERSITY于是，你赢得的劳动天数X的数学期望EX为赌博中的概率所以刚才的那次赌博确实不是“公平”的，由于你平均赢得的劳动天数是一个正数，我们可以确定你在这次赌博中处于“不利地位”。对于另外的一种赌博方式，X的概率分布为X-51P1/65/6NANKAIUNIVERSITY于是，你赢得的劳动天数X的数学期