妙用因式分解巧断几何图形的形状

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1、专题二十七 妙用因式分解巧断几何图形的形状因式分解是中学数学中极其重要的恒等变形，它的应用极为广泛，一些数学问题，若巧用因式分解，不但能找到联系已知与未知的解题方法，而且还能化繁为简、化难为易。现以近几年各类数学赛题为例剖析妙用因式分解判断几何图形的形状。 例1.已知三角形的三边a、b、c满足，试判断此三角形的形状。解：即故该三角形是以a为腰的等腰三角形。  例2.已知的三边a、b、c满足。试判断的形状。分析：由于给出a、b、c的关系比较复杂，因此需要整理，利用因式分解，综合运用三角形的知识推理解

2、答。解：在中，，。去分母得，即设。则亦即，故此三角形是以b为腰的等腰三角形  例3.已知的三边a、b、c满足，试判断的形状。解：将已知式去分母并整理得。故是等边三角形。  例4.若的三边a、b、c满足等式，试判断的形状。解：将已知式进行因式分解变形。故此三角形是等腰三角形或直角三角形。  例5.若的三边a、b、c满足等式，试判断的形状。（第十三届“希望杯”竞赛培训）解：因为，   ①，           ②             ③所以①+②+③得即            ④又得若，则。由②得

3、       ⑤由③得       ⑥得即时，可推得。若，则代入④得。      ⑦将代入中，。  ⑧由⑦、⑧知。即当时，可推得。故是等边三角形。  例6.若的三边a、b、c满足，则是（   ）A.钝角三角形          B.直角三角形C.等腰直角三角形      D.等边三角形解：三式相加得配方得由非负数的性质得，故选D。  例7.若四边形的四边a、b、c、d满足，试判断四边形的形状。解：把已知等式变形并配方，由非负数的性质得故以a、b、c、d为边的四边形是菱形。  例8.若四边形的四边a

4、、b、c、d满足。则此四边形一定是___________。（十一届“希望杯”初二培训题）解：把题设条件变形，配方故此四边形是菱形。  例9.已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且，，那么四边形ABCD是（  ）A.平行四边形       B.矩形C.菱形                D.梯形（第十三届“希望杯”初二培训题）解：由得，又由得。又。四边形ABCD是平行四边形，故选A。  例10.的三边a、b、c满足，试判断的形状。解：将已知等式变形并配方即，由非负数的性质得以上

5、三式相加得上式变形、配方，即由非负数性质得。此三角形是等边三角形。  例11.的三边a、b、c满足，，试判断的形状。解：把两边平方得以代入上式得，就是变形配方得，故是等边三角形。以下题目供大家练习 1.的三边a、b、c满足，试判断的形状。 2.的三边a、b、c满足试判断的形状。 3.的三边a、b、c满足，试判断的形状。略解或提示 1.故此三角形是等腰三角形或直角三角形。 2.将已知等式变形，此三角形是等腰三角形。 3.将已知等式变形、配方，即，故此三角形是等边三角形。