量子schubert函子以及量子线性群的上同调

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1、量子Schubert函子以及量子线性群的上同调【摘要】：量子群是近年来一个比较热门的课题。它包括两个不同的部分，一个是Drinfel’d与Jimbo在1985年引入的量子包络代数，另一个是Yu.I.Manin、S.L.Woronowicz引入的量子函数代数。在这篇论文中我们讨论Yu.I.Manin在[35]中引入的A型的量子函数代数(即量子线性群)。我们第一部分的工作旨在去掉在A型量子群的表示中(无论是量子包络代数设置下Anderson，PoloandWen工作中，还是量子线性群设置下Parshall与王建磐工作中)出现的对K与g的限制。我们在这里建立并使用的工具是量子Schu

2、bert函子。利用双行列式基，我们建立起关于量子Schubert函子一套令人满意的理论并用来解决上述问题。现在我来叙述一下这篇论文第一部分的结果。对的任何一个既约表达式定义：我们有(见§3．1)(3．1．4)定理．(1)H_σ~O独立于的既约表达式的选取。(2)设σ，σ′是的两个既约表达式。对任何B_q~--模V，下图交换。这里右边的同构是由(1)给出。上面的定理保证量子Schubert函子H_w~O是可以定义的。并且与从函子H_W~O(-)到函子H_w~O(-)的自然变换相容。固定最长元的一个既约表达式如下：注意到我们把这个既约表达式分成了n-1个部分。对1≤k≤N(=n(n

3、-1)/2)，记为上述既约表达式的最后k个部分的乘积。我们的主要结果是(见§3.1)（3．1．6）命题．设I三k三N．若上述既约表达式。。包含在。）0的那个既约表达式的最后。一。－互但不是n一。一2部分中．对人EW几）”，用民。表示型／的半标准表使得对1三i三。，。只出现在第兄行．而第m十1行取值于卜。十1。，。。十2．、，ik干川．那么川典范映射o氏：H（）＋＊朴）是满射·切而且，凡。是同构．沼＞之刀．①）叶11Tnls三】乙》是＊亏入＞的一组基．门）特月小h～m；m川T是型／的半标准表）是旷0V的一组基＼一／’””】一叮＼一”‘’多“—一且””一仰Ch（H三朴》二A方力＊…

4、OA8小闪）；4里A。表示第6个Dema＊ure算子请注意定理中所给出的这组基即使在经典的情形也是新的．有了这些结果；我们就可以导出GL川。的几乎所有的标准同调性质，如Grothendieck消失定理，KemPf消失定理以及Dema川rP特征标公式．并且从Kelnpf消失定理我们可以获得当q不是单位根时的BorelB。ti－Wed定理以及当q是一个本原l次单位椰其中l任意）时关于小支配权的Borel－Bottweil定理，继而给出当q不是单位根时的完全可约性定理的证明．本论文第二部分主要研究无穷小量于线性群的系数在平凡余模K中的上同调．在那里我们假设charK一0，并凤q是一个

5、本原Z次单位根，其中7是奇数满足Z＞。。我们的第一个主要结果是巧·2·3）定理·H加＊尸卜．K）一0，并且存在分次B－代数同构r＊《D小；K）生K卜．这里n是B6jLie代数中伴随幂零元全体我们的第二个主要结果是（5．2．4）定理．Hd）Gqh；K）－0；并且存在分次G－代数同构p＊（p小；叫芒KH．这里／（称作幂零锥）是＊的Li，代数中的伴随幂零元全体．定理的整个证明是完全自包含的，并且．不用到量子线性群理论以外的结论在我们的证明过程中；对余伴随Tq－作用作了深入的研究·其中一个重要的结果见定理6二·8·并巳我们自然地引出了一类q－多项式余代数，它是经典多项式余代数的变形．这

6、也是作者首次发现的．对于这一类q－多项式余代数，我们决定了（见定理6．3山系数在它的平凡余模K中的上同调有了定理5．2．3与定理5、2，4以后，我们决定了（见定理7．2、6）所有非零的1yKB。）1，川．最后；我门也给出了（见定理8。1．1；8．3．2，8．3、朴一些结果旨在试图决定所有非零的H’（B。，入）．【关键词】：【学位授予单位】：华东师范大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2000【分类号】：O413.1【目录】：Introduction8-12PartⅠ．QuantumSchubertFunctors12-451．Preliminaries13-161．1．Qu

7、antumGL_nandItsClosedSubgroups13-141．2．InductionFunctor14-162．RepresentationsofSL_（2,q）16-202．1．RepresentationsofSL_（2,q）16-182．2．InductiontoMinimalParabolicSubgroups18-203．QuantumSchubertFunctors20-413．1．Bideterminant20-223．2．RelationswithRepresen