尺规作图 典型例题

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1、典型例题　　例1、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段　　已知：线段　　求作：，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝　　分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法：　　作法一：1、作线段BC＝　　2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC　　3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点　　即为所求　　作法二：作线段BC＝　　2、作∠MBC＝45°　　3、作∠NCB＝∠MBC，CN与BM交于A点　　即为所求　　作法三：1、作线段BC＝　　2、作∠MBC＝45°　　3、过C

2、作CE⊥BM于A　　即为所求　　作法四：1、作线段BC＝　　2、作BC的中垂线，交BC于O点　　3、在OM上截取OA＝OB，连结AB，AC　　即为所求　　说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础，　　不要求写出基本作图的作法和证明。　　例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形.　　已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线　　求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m.　　分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然

3、后再作出.　　作法：（1）作，使BC=a，，MB=m；　　（2）延长线段CM至A，使MA=CM;　　（3）连接BA，则为所求作的三角形.　　小结：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故即可顺利作出.　　例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P.　　分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点.　　作法：（1）连结AB，做线段AB的

4、垂直平分线DE；　　（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P.　　则点P为所求作的学校位置.　　小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求.扩展资料三大几何作图问题　　三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hip

5、pocratesofchios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（HippiasofElis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius，约480～？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes，约276B.C.～195B.C.）、阿波罗尼奥斯（Apollonius，约262B.C.～190B.C.）和帕波斯（Pappus，约300～350）等人共12种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约250B.

6、C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法。当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响。三大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882年林德曼［C.L.F.Lindemann］证明了π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）。　　关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智

7、人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料。以下选录部分内容，各节作者与出处将随文注明。　　倍立方　　A。赛翁论倍立方问题的可能起源0埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道：当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图。柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛

8、，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视。　　B。普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的筒化。O“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了。例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，即依赖于找到两个比例中项。从那以后，他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的