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《实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、。习题2.11．若是区间中的全体有理点之集，求．解；。2．设，求．解；3．下列各式是否一定成立?若成立，证明之，若不成立，举反例说明．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)解(1)不一定。如设，（单点集），则,而但是，总有。(2)不一定。如,,则而(3)不一定。如设，（单点集），则,而但是，总有。(4)不一定。如，，则，而。(5)不一定。如,,则,，而，.(6)成立。因为,,所以,。因此，有。设,则存在，使得且,令,则。故有，即。因此，.4．试作一点集，使得，而．解令，则，.5．试作一点集，使得．解取，则。6．证明：无聚点的点集至多是可数集．证明因为无聚点的点集必然是
2、只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集是最多可数。对任意的，都存在使得。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）使得，从而。显然，对于任意的，当时，有，从而。令，则得到单射。由于可数，所以，是最多可数。7．无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?答不相同。例如，点集只有孤立，但是有一个聚点：。8．对无聚点的点集,是否一定存在一个正数,使得该点集中任意二点间的距离大于?答不一定。例如，取，则无聚点。但是，这说明：不存在一个正数,使得该点集中任意二点间的距离大于。9．点集的聚点与点列的极限点有何异同?证明：若，则存在且使得．证明不同。聚点是针对点集的概念，而
3、极限点（子列的极限）是针对点列的概念。对于一个点列，可以得到一个点集。如果,则必是点列的极限点。反之不真。如取，则1是点列的极限点，但它不是点集的聚点（因为没有聚点）。对于可数点集，得到点列。显然，点集的聚点与点列的极限点是相同的。设，则对,中有的无限个点。任取一点。令，则中有的无限个点。任取一点。如此下去,可得点列满足：，().易见，是的各项互不相同的点列且。可见，。10．证明：的充要条件是对任意，含有一个异于的的点．证明必要性显然.充分性.对,在中有一点,而。令,在中有一点且。令,在中有且。这样继续下去，得到中各项互不相同的点列使得。从而，，由上题知.11．使得．证明必要
4、性。设，则。显然，且。充分性设使得，则使得当时有，从而。可见，。12.设点列,,证明:.证明由可知：对任意的使得当时,有;当时,。令,则当时,有且.从而，当时，有。所以。由的任意性知，.13.设点列,,证明:,有(1);(2).证明（1）由,可知对任意的使得当时，有;当时，有.令,则当时,有且.所以，当，有。从而.（2）因为所以。因此，。习题2.21．点集为闭集当且仅当中的收敛点列的极限仍然属于．证明必要性.设为闭集,即。取任一收敛点列,且.下证.事实上,若存在使得,则；否则，对任一都有。因为,所以对任意，中必有的异于的点。从而，由习题2.1.10可知:是的聚点,所以.充分性
5、.设中任何一个收敛点列必收敛于中的一点,则对任意的,存在点列使得,由假设知。所以,即为闭集.2．证明：是含于内的一切开集的并．证明设,为所有含于内的开集所组成的集合,则(任意的).记,下证。一方面,显然是一个含于的开集,所以。另一方面,，有,从而。但是(为开集),所以.因此，。因此.3．证明：是包含的一切闭集的交．证明设为所有包含了的闭集之集,则(任意的).记，下证.一方面，显然是一个含的闭集，所以。另一方面,对，有，从而。但(为闭集),所以（）。因此，.故.4．设是非空有界闭集，令证明：．证明使得。从而,于是，因此.再由的任意性知.同理可得：使得所以.因此，知.由的任意性知
6、.5．设是渐张开集列，令，点集是有界闭集且．证明：存在自然数，当时，有．证明由是有界集,,必存在使得.又因为,所以.取则当时，有.6．证明：中的任何闭集都可表示为可数个开集的交；中的任何开集都可表示为可数个闭集的并．提示：考虑．证明当为空集时，显然。下设为非空集。令，则，从而.另一方面，设，则有,所以,使得,即.当,则.由于是闭集,必有.因此.综上可知：。对中的任何开集，为闭集，从而由已证结论知：存在一列开集使得，所以.显然，都是闭集。7．设是中的点集，证明：是闭集．证明因为且,所以,故是闭集.8．设是两个有界闭集，证明：是中的有界闭集．证明有界性.因为有界,所以存在使得对任
7、意的,有对任意的,有,从而任意的，有,于是且有界的闭性.设为中的收敛点列，且.由于,可见，.因为为闭集，所以，即,故为闭集.9．两个完备集的交集是否一定是完备集？两个完备集的并集是否一定是完备集？可数多个完备集的并集呢？证明两个完备集的交集不一定是完备集，如不完备.两个完备集的并集是完备集.事实上，设完备，则所以是完备的.可数个完备集的并集不一定是完备集.如：不完备.10．若是中的开集，证明：．11．设在整个数轴上有定义，其函数值只取整数，证明：的连续点之集是开集，间断点之集是闭集．证明设表示的连续点之
