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《实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、。习题2.11.若是区间中的全体有理点之集,求.解;。2.设,求.解;3.下列各式是否一定成立?若成立,证明之,若不成立,举反例说明.(1);(2);(3);(4);(5);(6)解(1)不一定。如设,(单点集),则,而但是,总有。(2)不一定。如,,则而(3)不一定。如设,(单点集),则,而但是,总有。(4)不一定。如,,则,而。(5)不一定。如,,则,,而,.(6)成立。因为,,所以,。因此,有。设,则存在,使得且,令,则。故有,即。因此,.4.试作一点集,使得,而.解令,则,.5.试作一点集,使得.解取,则。6.证明:无聚点的点集至多是可数集.证明因为无聚点的点集必然是
2、只有孤立点的点集,所以只要证明:任一只有孤立点的点集是最多可数。对任意的,都存在使得。有理开球(即中心为有理点、半径为正有理数的开球)使得,从而。显然,对于任意的,当时,有,从而。令,则得到单射。由于可数,所以,是最多可数。7.无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?答不相同。例如,点集只有孤立,但是有一个聚点:。8.对无聚点的点集,是否一定存在一个正数,使得该点集中任意二点间的距离大于?答不一定。例如,取,则无聚点。但是,这说明:不存在一个正数,使得该点集中任意二点间的距离大于。9.点集的聚点与点列的极限点有何异同?证明:若,则存在且使得.证明不同。聚点是针对点集的概念,而
3、极限点(子列的极限)是针对点列的概念。对于一个点列,可以得到一个点集。如果,则必是点列的极限点。反之不真。如取,则1是点列的极限点,但它不是点集的聚点(因为没有聚点)。对于可数点集,得到点列。显然,点集的聚点与点列的极限点是相同的。设,则对,中有的无限个点。任取一点。令,则中有的无限个点。任取一点。如此下去,可得点列满足:,().易见,是的各项互不相同的点列且。可见,。10.证明:的充要条件是对任意,含有一个异于的的点.证明必要性显然.充分性.对,在中有一点,而。令,在中有一点且。令,在中有且。这样继续下去,得到中各项互不相同的点列使得。从而,,由上题知.11.使得.证明必要
4、性。设,则。显然,且。充分性设使得,则使得当时有,从而。可见,。12.设点列,,证明:.证明由可知:对任意的使得当时,有;当时,。令,则当时,有且.从而,当时,有。所以。由的任意性知,.13.设点列,,证明:,有(1);(2).证明(1)由,可知对任意的使得当时,有;当时,有.令,则当时,有且.所以,当,有。从而.(2)因为所以。因此,。习题2.21.点集为闭集当且仅当中的收敛点列的极限仍然属于.证明必要性.设为闭集,即。取任一收敛点列,且.下证.事实上,若存在使得,则;否则,对任一都有。因为,所以对任意,中必有的异于的点。从而,由习题2.1.10可知:是的聚点,所以.充分性
5、.设中任何一个收敛点列必收敛于中的一点,则对任意的,存在点列使得,由假设知。所以,即为闭集.2.证明:是含于内的一切开集的并.证明设,为所有含于内的开集所组成的集合,则(任意的).记,下证。一方面,显然是一个含于的开集,所以。另一方面,,有,从而。但是(为开集),所以.因此,。因此.3.证明:是包含的一切闭集的交.证明设为所有包含了的闭集之集,则(任意的).记,下证.一方面,显然是一个含的闭集,所以。另一方面,对,有,从而。但(为闭集),所以()。因此,.故.4.设是非空有界闭集,令证明:.证明使得。从而,于是,因此.再由的任意性知.同理可得:使得所以.因此,知.由的任意性知
6、.5.设是渐张开集列,令,点集是有界闭集且.证明:存在自然数,当时,有.证明由是有界集,,必存在使得.又因为,所以.取则当时,有.6.证明:中的任何闭集都可表示为可数个开集的交;中的任何开集都可表示为可数个闭集的并.提示:考虑.证明当为空集时,显然。下设为非空集。令,则,从而.另一方面,设,则有,所以,使得,即.当,则.由于是闭集,必有.因此.综上可知:。对中的任何开集,为闭集,从而由已证结论知:存在一列开集使得,所以.显然,都是闭集。7.设是中的点集,证明:是闭集.证明因为且,所以,故是闭集.8.设是两个有界闭集,证明:是中的有界闭集.证明有界性.因为有界,所以存在使得对任
7、意的,有对任意的,有,从而任意的,有,于是且有界的闭性.设为中的收敛点列,且.由于,可见,.因为为闭集,所以,即,故为闭集.9.两个完备集的交集是否一定是完备集?两个完备集的并集是否一定是完备集?可数多个完备集的并集呢?证明两个完备集的交集不一定是完备集,如不完备.两个完备集的并集是完备集.事实上,设完备,则所以是完备的.可数个完备集的并集不一定是完备集.如:不完备.10.若是中的开集,证明:.11.设在整个数轴上有定义,其函数值只取整数,证明:的连续点之集是开集,间断点之集是闭集.证明设表示的连续点之