欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:16005240
大小:176.50 KB
页数:9页
时间:2018-08-07
《高一数学典型例题分析:等比数列》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、http://jsbpzx.net.cn/等比数列·例题解析 【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.[]A.是等比数列B.当p≠0时是等比数列C.当p≠0,p≠1时是等比数列D.不是等比数列分析由Sn=pn(n∈N*),有a1=S1=p,并且当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1但满足此条件的实数p是不存在的,故本题应选D.说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N*),还要注【例2】已知等比数列1,x
2、1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n.解∵1,x1,x2,…,x2n,2成等比数列,公比q∴2=1·q2n+1x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n式;(2)已知a3·a4·a5=8,求a2a3a4a5a6的值.http://jsbpzx.net.cn/http://jsbpzx.net.cn/∴a4=2【例4】已知a>0,b>0且a≠b,在a,b之间插入n个正数x1,x2,…,xn,使得a,x1,x2,…,xn,b成等比数列,求证明设这n+2个数
3、所成数列的公比为q,则b=aqn+1【例5】设a、b、c、d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.证法一∵a、b、c、d成等比数列∴b2=ac,c2=bd,ad=bc∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右边证毕.证法二∵a、b、c、d成等比数列,设其公比为q,则:b=aq,c=aq2,d=aq3∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2
4、+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2http://jsbpzx.net.cn/http://jsbpzx.net.cn/=(a-d)2=右边证毕.说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子.证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的.证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性.【例6】求数列的通项公式:(1){a
5、n}中,a1=2,an+1=3an+2(2){an}中,a1=2,a2=5,且an+2-3an+1+2an=0思路:转化为等比数列.∴{an+1}是等比数列∴an+1=3·3n-1∴an=3n-1∴{an+1-an}是等比数列,即an+1-an=(a2-a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2-a1=3,a3-a2=3·21,a4-a3=3·22,…,an-an-1=3·2n-2,这些等式相加,即可以得到说明解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现{an+1}是等比数列,(2)
6、中发现{an+1-an}是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现.证∵a1、a2、a3、a4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0,即http://jsbpzx.net.cn/http://jsbpzx.net.cn/又∵a1、a2、a3为实数因而a1、a2、a3成等比数列∴a4即为等比数列a1、a2、a3的公比.【例8】若a、b、c成等差数列,且a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数列,求b的值.解设a、b、c分别为b-d、b、b+d,由已知b-d+1、b、b+d与b-d、b、b+d+2
7、都成等比数列,有整理,得∴b+d=2b-2d即b=3d代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d)9d2=(2d+1)·4d解之,得d=4或d=0(舍)∴b=12【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d,又知d≠1,且a4=b4,a10=b10:(1)求a1与d的值;(2)b16是不是{an}中的项?思路:运用通项公式列方程http://jsbpzx.net.cn/http://jsbpzx.net.cn/(2)∵b16=b1·d15=-32b1∴b16=-32b1=-3
8、2a1,如果b16是{an}中的第k项,则-32a1=a1+(k-1)d∴(k-1)d=-33a1=33d∴k=34即b16是{an}中的第34项.解设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d解这个方程组,得∴a1=-1,d=2或a1=3,d=-2∴当a1=-1,d=2时,an=a1+(n-1)d=2n-3当a1=3,d=2时,an=a1+(n-1)d=5-2n【例11】三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个
此文档下载收益归作者所有