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时间:2018-07-17
《borittq高一数学典型例题分析等比数列的前n项和》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、七夕,古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚,世态炎凉却已看透矣。情也成空,且作“挥手袖底风”罢。是夜,窗外风雨如晦,吾独坐陋室,听一曲《尘缘》,合成诗韵一首,觉放诸古今,亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。-----啸之记。等比数列的前n项和·例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q.解由Sn=80,S2n=6560,故q≠1∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an.∴an=aqn-1=54
2、 ④将③代入①化简得a=q-1 ⑤由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3证∵Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1S2n=Sn+(a1qn+a1qn+1+…+a1q2n-1)=Sn+qn(a1+a1q+…+a1qn-1)=Sn+qnSn=Sn(1+qn)类似地,可得S3n=Sn(1+qn+q2n)说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与Sn的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的
3、关键,并且变得好,则解法巧.【例3】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.分析设等比数列为{an},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q.解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1.即公比为2,项数为8.说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.【例4】选择题:在等比数列{an}中,已知
4、对任意正整数n,有Sn=2n[]解D.∵a1=S1=1,an=Sn-Sn-1=2n-1∴an=2n-1∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1【例5】设0<V<1,m为正整数,求证:(2m+1)Vm(1-V)<1-V2m+1分析直接作,不好下手.变形:右边分式的外形,使我们联想到等比数列求和公式,于是有:(2m+1)Vm<1+V+V2+…+V2m发现左边有(2m+1)个Vm,右边有(2m+1)项,变形:Vm+Vm+…+Vm<1+V+V2+…+V2m.显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与右边的两项
5、相比较.鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点,想到以如下方式比较:Vm+Vm<1+V2m,Vm+Vm<V+V2m-1,…,Vm+Vm<Vm-1+Vm+1,Vm=Vm.即2Vm<1+V2m,2Vm<V+V2m-1,….根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”,这些式子显然成立.(具体证法从略).说明本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”:C,B<D,等等.善于进行逆向思考,是对知识熟练掌握的一种表现,同时也是一种重要的思维能力,平时应注意训练.【例6】数列{an}是等比数列,其中Sn=48,S
6、2n=60,求S3n.解法一利用等比数列的前n项和公式若q=1,则Sn=na1,即na1=48,2na1=96≠60,所以q≠1=Sn(1+qn+q2n)解法二利用等比数列的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列∴(60-48)2=48·(S3n-60)∴S3n=63.解法三取特殊值法取n=1,则S1=a1=48,S2n=S2=a1+a2=60∴a2=12∵{an}为等比数列S3n=S3=a1+a2+a3=63【例7】已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1(1)设bn=an+1
7、-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列;解(1)∵Sn+1=4an+2Sn+2=4an+1+2两式相减,得Sn+2-Sn+1=4an+1=4an(n∈N*)即:an+2=4an+1-4an变形,得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n∈N*)∴bn+1=2bn由此可知,数列{bn}是公比为2的等比数列.由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1可得a2=5,b1=a2-2a1=3∴bn=3·2n-1将bn=3·2n-1代入,得
8、GN>说明利用题设的已知条件,通过合理的转换,将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈
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