第20讲 周期问题(二)

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1、第20讲周期问题（二）有些题目的规律较为隐蔽，解题时需认真观察，分析，比较，有的还必须经过认真地操作（演示与画图等方法），从而找出该题中重复出现的规律性的东西，确定周期，本讲主要从这方面入手加以指导。例题与方法例1有13名小朋友，他们依次围成一个圆圈做游戏。现在从1号开始，每数到第3个人发一粒糖（每人只拿一次糖）。那么，最后一个拿到糖的小朋友是几号？思路点拨丁丁：从1号开始，每3个数一数，数了第一圈后可再数第二圈、第三圈……就可以找到最后一个拿到糖的小朋友是几号。小麦斯：按这样做，小朋友人数少还可对付，当人数很多的时

2、候就不太切合实际了，操作起来太麻烦，必须找到一种较简洁的解法。从1号开始，每数到第3个人发一粒糖，将每次发到糖的小朋友的号码数记录下来，进行分析、归纳，从发到糖的小朋友的号码次序关系中发现什么规律。机灵猴：发到糖的小朋友的号码依次是（3、6、9、12），（2、5、8、11），（1、4、7、10、13）为止刚好数了13次，共数了13×3=39个数，而39÷13真好是3圈，即最后一个拿到糖的小朋友是13号。解3×13=39（个数）39÷13=3（圈）答：最后一个拿到糖的是13号。例2四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1

3、号位子上，小猴左在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换，第二次是在第一交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换，……这样一直换下去，问，第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（如图）思路点拨丁丁：根据题意，将图继续画下去，找出第几次交换后和第一次交换后的相同情形。小麦斯：是的，要继续前面的操作，直至发现与前面情况重复的情形，从而找出这题在操作中出现的周期数。机灵猴：第三次操作后是第四次操作后是，发现第四次操作后动物坐位子的情形与开始的状态相同，小兔

4、回到原来的位子上。说明这题换位子的周期数是4，那么，10÷4=2……2，可知小兔是坐在第二次操作后的位子上，即小兔坐在2号位子上。解10÷4=2……2答：小兔坐在2号位子上。例3把1至8八个数码摆成一个圆圈，现在有一个小球，第一天从1号顺时针前进203个位置，第二天接着逆时针前进335个位置，第三天又顺时针前进203个位置，第四天再逆时针前进335个位置，第五天又顺时针前进203个位置……试问：至少经过几天后，小球又回到1号位置？思路点拨丁丁：根据题意，小球的前进方向依次是：顺时针、逆时针、顺时针、逆时针、……用顺时

5、针表示往前进，用逆时针表示往后退，先确定第一次顺时针进到的位置，然后在这个位置上确定第一次逆时针退到的位置，再在这时的位置上确定第二次顺时针进到的位置，再确定第二次逆时针退到的位置，一直操作下去，就可以找到如此操作后小球第一次重回到1号位置所用的天数。小麦斯：用数个数和操作的思路解题是可以，但对于数圈比较大的时候，这种方法就太麻烦了，必须对题目进行全面分析，根据数量关系找到更简洁的解题方法。这里先找出每次按顺时针前进在绕过若干圈后的余数（203÷8=25……3），再找出每次按逆时针后退在绕过若干圈后的余数（335÷8

6、=41……7），最后将前进的余数和后退的余数进行比较，即（3-7+3-7）是后退的数比前进的数多8，刚好是后退一圈。说明小球经过4天正好后退到1号位置。机灵猴：本题也可以比较小球一次顺时针和一次逆时针运动后位置的差数（335-203=）132个，然后用132÷8=16……4，说明小球2天中逆时针与顺时针抵消相同的位置后再逆时针转了16圈后再多运动了4个位置，所以小球至少要两次这样的时间，即2×2=4（天）才能运动到1号位置。解335-203=132（个）132÷8=16……48÷4=2（次）2×2=4（天）答：至少要

7、用4天小球回到了1号位置。例4在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开。那么，长度是1厘米的短木棍有多少根？思路点拨丁丁：在100厘米长的木棍上，自左至右每隔6厘米染的红点和自右至左每隔5厘米染的红点分别找出来，看看共可染多少个点，可以从截的段数中找出长度为1厘米的短木棍。小麦斯：对。我们可以将两种染法看作从同一端点起染色。由于6与5的最小公倍数是30，即在30厘米的倍数的地方同时染上红点，这样，染色就会出现周期变化现象，每一周期长度是3

8、0厘米。如图：机灵猴：周期点数在30厘米、60厘米、和90厘米三处。在每一周期中，有两根为1厘米长的短木棍，即5厘米与6厘米处，24厘米与25厘米处。解2×〔（100-10）÷30〕+1=2×3+1=7（根）答：长度是1厘米的短木棍有7根。例5下面是一个11位数，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？8？6思路点拨丁丁：根据