天津市2018年高考数学(文)二轮复习专题能力训练8利用导数解不等式及参数范围

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1、天津市2018年高考数学(文)二轮复习专题能力训练专题能力训练8　利用导数解不等式及参数范围一、能力突破训练1.已知函数f(x)=ax2+bx-lnx,a,b∈R.(1)若a<0,且b=2-a,试讨论f(x)的单调性;(2)若对∀b∈[-2,-1],∃x∈(1,e)使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.解(1)f'(x)=2ax+(2-a)-==.当-<,即a<-2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,;当-=,即a=-2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当->,即0>a>-2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,.(2)对∀b∈[-2,-1],∃x

2、∈(1,e)使得ax2+bx-lnx<0成立,即ax2-x-lnx<0在区间(1,e)内有解,即a<在(1,e)内有解,即a<.令g(x)=,则g'(x)=.∵x∈(1,e),∴g'(x)<0,即在区间(1,e)内g(x)单调递减.∴a0,天津市2018年高考数学(文)二轮复习专题能力训练所以f(x)在区间(0,+

3、∞)单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.所以f(x)在区间单调递增,在区间单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在区间(0,+∞)无最大值;当a>0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在区间(0,+∞)单调递增,g(1)=0.于是,当01时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).3.已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)

4、求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:>.解(1)∵f(x)=ax+xlnx,∴f'(x)=a+lnx+1.又f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+lne+1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k≥对任意x>0成立.令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-.令g'(x)=0,解得x=1.当00,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,天

5、津市2018年高考数学(文)二轮复习专题能力训练∴g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明:令h(x)=,则h'(x)=.由(2)知,x≥1+lnx(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)上的增函数.∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即>,∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,∴lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n.∴(mnn)m>(nmm)n,∴>.4.已知函数f(x)=lnx-,

6、其中a∈R.(1)当a=-1时,判断f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+ax在其定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(3)当a=0时,函数f(x)的图象关于y=x对称得到函数h(x)的图象,若直线y=kx与曲线y=2x+没有公共点,求k的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=,∵当01时,f'(x)>0,∴f(x)在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数.(2)由g(x)=f(x)+ax=lnx-+ax,可知函数g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=.∵g(x)在其定义域内为减

7、函数,∴∀x∈(0,+∞),g'(x)≤0.∴ax2+x+a≤0⇔a(x2+1)≤-x⇔a≤⇔a≤.又=≤,∴≥-,天津市2018年高考数学(文)二轮复习专题能力训练当且仅当x=1时取等号.∴a≤-.(3)∵当a=0时,f(x)=lnx,∴h(x)=ex.直线l:y=kx与曲线y=2x+=2x+没有公共点,等价于关于x的方程(k-2)x=(*)在R上没有实数解,①当k=2时,方程(*)可化为=0,其在R上没有实数解.②当k≠2时,方程(*)可化为=xex.令g(x)=xex,则有g'(x)=(1+x)ex.令g'(