2019年高考数学(文)一轮复习第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程学案

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1、北师大版2019届高考数学一轮复习学案第八节　函数与方程[考纲传真]　结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．(对应学生用书第24页)[基础知识填充]1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号

2、相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210[知识拓展]1．函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线

3、，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)6北师大版2019届高考数学一轮复习学案(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　)(3)若函数f(x)

4、在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零

5、点的是(　　)A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1A　[由于y＝sinx是奇函数；y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cosx是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　)A．(0,1)B．(1,2)C．(－2，－1)D．(－1,0)D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0

6、)＜0，故选D．]5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．　[∵函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(－1)f(1)＜0，∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，6北师大版2019届高考数学一轮复习学案∴实数a的取值范围是.](对应学生用书第25页)函数零点所在区间的判断　(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内　　　　B．

7、(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)(2018·唐山模拟)设x0是方程x＝的解，则x0所在的范围是(　　)A．B．C．D．(1)A　(2)B　[(1)∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A．(

8、2)构造函数f(x)＝x－，因为f(0)＝0－＝1＞0，f＝－＝－＞0，f＝－＝－＜0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)＝x－在上存在零点，即x0∈，故选B．][规律方法]　判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判