2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案:第二章 2.4 抛物线

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1、2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案www.ks5u.com2.4抛_物_线2.4.1 抛物线的标准方程平面直角坐标系内,有以下点和直线A(3,0),B(-3,0),C(0,3),D(0,-3);l1:x=-3,l2:x=3,l3:y=-3,l4:y=3.问题1:到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么?提示:y2=12x.问题2:到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么?提示:y2=-12x.问题3:到定点C和定直线l3或到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢?提示:x2=12y,x2=-12y.

2、抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y2=2px(p>0)x=-向右y2=-2px(p>0)x=向左x2=2py(p>0)y=-向上-33-2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案x2=-2py(p>0)y=向下1.平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线.定点F不在定直线l上,否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的垂线.2.抛物线的标准方程有四种形式,顶点都在坐标原点,焦点在坐标轴上.由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程[例1] 已知抛物线的方程y=ax2(a≠0),求它的焦点坐标和准线方程.

3、[思路点拨] 由题意y=ax2,(a≠0),可化为x2=y,再依据抛物线的标准方程得焦点和准线方程.[精解详析] 将抛物线方程化为标准方程x2=y(a≠0),显然抛物线焦点在y轴上,(1)当a>0时,p=,∴焦点坐标F,准线方程y=-.(2)当a<0时,p=,∴焦点坐标F,准线方程y=-,综合(1)(2)知抛物线y=ax2(a≠0)的焦点坐标是F,准线方程是y=-.[一点通] -33-2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时,应首先把方程化为标准形式,再分清抛物线是四种中的哪一种,然后写

4、出焦点及准线.1.(北京高考)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=________,准线方程为________.解析:因为抛物线的焦点坐标为(1,0),所以=1,p=2,准线方程为x=-=-1.答案:2 x=-12.已知抛物线的方程如下,分别求其焦点坐标和准线方程.(1)x2=4y;(2)2y2+5x=0.解:(1)由抛物线标准方程知抛物线焦点在y轴正半轴上,开口向上.∵p=2,∴焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.(2)将2y2+5x=0变形为y2=-x,∴2p=,p=,开口向左.∴焦点坐标为,准线方程为x=.求抛

5、物线标准方程[例2] 根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)已知抛物线的准线方程为x=-3;(2)已知抛物线的焦点坐标是(,0).[思路点拨] 根据题目中给出的焦点或准线,可以确定抛物线的开口方向,然后设出抛物线的标准方程.[精解详析] (1)设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),其准线方程为x=-,则-=-3,∴p=6.∴抛物线标准方程为y2=12x.(2)设抛物线标准方程为y2=2px(p>0)焦点坐标为,∴=,∴p=5.∴抛物线标准方程为y2=10x.[一点通] 待定系数法求抛物线标准方程的步骤:(1)依据题目中的条件确定抛物

6、线的标准形式;(定形)-33-2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1讲学案(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向;(定位)(3)利用题中所给数据确定p.(定量)3.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为___________________.解析:双曲线-=1的右顶点为(4,0),即抛物线的焦点坐标为(4,0),所以抛物线的标准方程为y2=16x.答案:y2=16x4.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)经过点(-3,-1);(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.解:(1)∵点(-3,-1)在第三

7、象限,∴设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=;若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=.∴所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.(2)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,∴抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时,=3,∴p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点为(4,0)时,=4

8、,∴p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.∴所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.抛物线方程的应用[例3] 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径

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