时间序列模型--arma模型与arch模型(2008.11)

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1、时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型28第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressivemodels)、移动平均模型(Movingaveragemodels)、自回归移动平均模型(Autoregressivemovingaveragemodel

2、s)、自回归条件异方差模型(AutoregressivecconditionalHeteroscedasticitymodels)的识别、估计、检验、应用。28一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。严格地讲，如果一个随机时间序列，对于任何时间，都满足下列条件：Ⅰ）均值；Ⅱ）方差，是与时间无关的常数；Ⅲ）自协方差,是只与时期间隔有关，与时间无关的常数。则称该随机时间序列是平稳的。生成该序列的随机过程是平稳过程。28例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独

3、立分布序列：=~该序列常被称为是一个白噪声（whitenoise）。由于具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（randomwalk）：~，是一个白噪声。容易判断该序列有相同的均值：，但是方差,即的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。然而，对取一阶差分：则序列是平稳的。后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。28（二）平稳时间序列的自相关函数与偏自相关函数时间序列的自相关函数（autocorrelationfunction

4、,ACF）定义如下：平稳时间序列的一个重要特征是它的自相关函数随着的增加而成指数型衰减。一个时间序列的样本自相关函数定义为：28偏自相关函数（partialautocorrelationfunction，PACF）则是消除了中间变量带来的间接相关后与间的直接相关性，它是在给定的条件下，与间条件相关关系的度量。二、单变量平稳时间序列模型：ARMA模型28单变量时间序列模型是通过直接或间接地运用变量自身过去的信息和以往的扰动项，寻找其自身的变化规律。ARMA模型是一类常用的单变量平稳时间序列模型，它是由博克斯（Box）和詹金斯(Jenkins)创

5、立的，亦称B-J方法。ARMA模型有三种基本类型：自回归(AR)模型,移动平均(MA)模型,自回归移动平均(ARMA)模型。（一）AR模型1．AR模型的定义28如果时间序列可以表示为它的前期值和随机扰动项的线性函数：=（5.1）则称该序列是自回归序列，（5.1）式为阶自回归模型，简记为AR（）。引入滞后算子，记为步滞后算子，即模型（5.1）可表示为：即令，模型可简写为：2．AR（）模型的平稳性条件28=0为滞后算子多项式方程。AR（）模型平稳的条件是：该方程的根在单位圆外，即的根大于1。对自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特

6、征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验自回归模型的平稳性：1）AR(p)模型稳定的必要条件是2）由于可正可负，AR(p)模型平稳的充分条件是：3．AR模型的识别28判断一个随机时间序列是否为AR（）序列，所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（ACF）及偏自相关函数（PACF）。若序列的偏自相关函数在以后截尾，即时，，而且它的自相关函数是拖尾的，可以认定此序列是自回归AR(p)序列。以一阶自相关模型AR（1）的自相关函数为例：由于AR（1）的阶滞后自协方差因此，AR（1）模型的自相关函数为=28由AR（1）的稳定性知，趋于无穷大时，呈指

7、数型衰减至0，这种现象称为拖尾。可以证明，当时，样本偏自相关函数服从如下渐近正态分布:~N(0,1/n)因此，如果计算的满足，我们就有95.45%的概率保证程度断定在之后截尾。（二）MA模型1．MA模型的定义28如果时间序列是它的当期和前期随机误差项的线性函数，即可表示为：=（5.2）则称该序列是移动平均序列，（5.2）式为阶移动平均模型，简记为MA（）。若使用滞后算子，则（5.2）式可以简写为易见，有限阶移动平均过程无条件平稳。2．MA模型的可逆性28观察MA模型：若多项式方程的根全部落在单位圆外，则称序列可逆。的逆记作，则=。比较，可以证

8、明，若MA（）算子可逆，MA（）模型可写成AR(∞)的形式；同理，若AR(P)模型满足平稳性条件，AR(P)模型可表示为MA(∞)。3．MA模型的识别28若序列的自