2-1切线斜率 姓名：学号：

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1、※※微分上課講義※※2-1切線斜率※※姓名：學號：x+hxxyPf(x)f(x+h)2-15※※微分上課講義如右圖，若我們在之曲線上任取二點，及所連結割線之斜率為：若時，割線與之圖形將只交於一點P，這點即為切點。因此在給定上之一點，其切線斜率為。例一：在上任取一點，求過之切線斜率為何？並利用此結果求過之切線方程式？例二：求過上一點之切線方程式？※※2-2導函數的定義※※函數之導函數記做，定義為；若極限值存在，則稱為可微分。如果將定義稍做改變，即可得到另一個等值之結果：。函數之導函數符號表示法有及等三種。例一：用導函數之定義求右列各題：¬2-15※※微分上

2、課講義隨堂練習：用導函數之定義求※※2-3基本微分公式※※定理：（微分之四則公式）1.2.3.4.證明：推論：¬2-15※※微分上課講義定理：為實數。（若函數為常數函數，則其導函數為0）推論：例一：求下列各函數的導函數？¬®例二：若，求？例三：若¬，求？，求？例四：若，求？2-15※※微分上課講義隨堂練習：求右列各函數的導函數？¬®※※2-4鏈鎖律※※如果我們要求之導函數，或許可將它展開，利用上節之定理求解，但若是，這樣做就不勝其擾，因此我們必需尋找一些簡便方法，鏈鎖律（ChainRule）即為我們提供了好方法。定理：（1）為可微分函數，。（2）為一可微

3、分函數，為任一實數則例一：若，求例二：若，求例三：若，求2-15※※微分上課講義例四：若，求例五：若，求隨堂練習：試微分下列各題：¬®¯2-15※※微分上課講義※※2-5三角函數微分法※※2-5-1三角函數之極限與夾擠定理要導出三角函數之導函數公式，必須用到三個極限定理：定理：1.2.例一：求¬®茲將一些特別角之正弦、餘弦值列於下表以供參考角度三角函數00300450600900定理：3.在某個區間中，若，且則，其中。此即有名的夾擠定理，又稱為三明治定理。例二：在[-2,2]中，滿足，求例三：求【提示：】2-15※※微分上課講義2-5-2三角函數微分公式

4、預備定理：證明：以為圓心作一單位圓，為圓上之一弧，為半徑（），則有之面積=扇形之面積=之面積=但之面積＞扇形之面積＞之面積即，又，由夾擠定理知預備定理：證明：有了上述預備定理，我們可導出下列有關三角函數之微分公式。定理：1.2.3.4.5.6.證明：1.註：和角公式：推論：（為之可微分函數）1.2.3.2-15※※微分上課講義例一：求（1）（2）（3）例二：求例三：求隨堂練習：求（1）（2）※※2-6指數、對數函數微分法※※2-6-1是什麼為了探討對數函數的導函數，我們先求它在處的導數來看看，由定義知：欲知上式的極限值，需先討論極限是否存在。2-15※※

5、微分上課講義讓我們列出某些值所對應的值來觀察：（1）當且時，如下表：0.010.0010.00010.000010.000001…..2.70481382.71692392.71814592.71826822.7182804…..由上表可看出，當從0的右側趨近於0時，的值愈來愈大且趨近於2.7182….，即。（2）當且時，如下表：-0.01-0.001-0.0001-0.00001-0.000001…..2.73199902.71964222.71841772.71829542.7182831…..由上表可看出，當從0的左側趨近於0時，的值愈來愈小且趨近

6、於2.7182….，即。由（1），（2）兩點結論可知，當趨近於0時，趨近於近似值2.71828….。定義：，且稱為尤拉數（Eulernumber）例一：已知，求下列極限值：¬指數的性質：由之定義我們可得¬®¯2-6-2自然對數函數自然對數函數，是以為底的對數函數，通常以表之，其中（亦即），由對數函數的性質，可得¬只當時有意義；；®；2-15※※微分上課講義¯；°；±；²例二：若，試求2-6-3自然對數函數之微分公式首先我們可以導出對數函數的導函數，由定義在上式中，令，則當時，就有，而前面已導出，所以即推論：（）又由鏈鎖律可得例三：求¬例四：若，求2-15

7、※※微分上課講義例五：若，求隨堂練習：若，求2-6-4之微分公式定理：證明：，兩邊同時取自然對數，則，再將等號兩邊同時對微分，，即推論：（利用鏈鎖律）例六：求2-6-5自然對數函數之應用應用一：連乘除式之導函數例七：若，求解：2-15※※微分上課講義例八：求應用二：指數部分為之函數的導函數例九：求例十：求※※2-7高階導函數※※為一可微分函數，則我們可求出其導函數，若亦為一可微分函數，我們可再求出其導函數，我們用表所求出之結果，並稱為之二階導函數，而稱為一階導函數。以此類推，之三階導函數為，除了用，……表示各階導函數外，還有一些常用之表示法，為了讓同學適

8、應這些不同之常用高階導函數表示法，故表列如下：階次表示法一階二階三階四階…………