2017-2018学年高中数学人教a版选修4-5教学案：第三讲 本讲知识归纳与达标验收

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案　　　　　　　　　　对应学生用书P37考情分析从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，可也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．真题体验1．(陕西高考)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________．解析：由柯西不等式得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2，将已知代入得m2＋n2≥5⇒≥，当且仅当“＝”时等号成立．答案：2．(福建高考)已知定义在R上的函数f

2、(x)＝

3、x＋1

4、＋

5、x－2

6、的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.解：(1)因为

7、x＋1

8、＋

9、x－2

10、≥

11、(x＋1)－(x－2)

12、＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.　　　　　　　　　　对应学生用书P37利用柯西不等式证明有关不等式问题柯西不等式的一般形式为(a＋a＋…

13、＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1,2，…，n112017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．[例1]　已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：＋＋＋＞＋＋＋.[证明]　由柯西不等式(＋＋＋)(＋＋＋)≥(＋＋＋)2，于是＋＋＋≥＋＋＋①等号成立⇔＝＝＝⇔＝＝＝⇔a＝b＝c＝d.又已知a，b，c，d不全相等，则①中等号不成立．即＋＋＋>＋＋＋.利用排序不等式证明有关的不等式问题排序不等式具有自己独特

14、的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．[例2]　设a，b，c为实数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.[证明]　由对称性，不妨设a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥.由排序不等式：顺序和≥乱序和得＋＋≥＋＋＝＋＋.①又因为a11≥b11≥c11，≤≤，再次由排序不等式：反序和≤乱序和得＋＋≤＋＋.②由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.112017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案利用柯西不等式或排序不等式求最值问题有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限

15、定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．[例3]　已知5a2＋3b2＝，求a2＋2ab＋b2的最大值．[解]　∵[(a)2＋(b)2]≥2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当5a＝3b即a＝，b＝时取等号．∴×(5a2＋3b2)≥a2＋2ab＋b2.∴a2＋2ab＋b2≤×(5a2＋3b2)＝×＝1.∴a2＋2ab＋b2的最大值为1.[例4]　已知正实数x1，x2，…，xn满足x1＋x2＋…＋xn＝P，P为定值，求F＝＋＋…＋＋的最小值．[解]不妨设0

16、>0且0

17、∴＋≥.当且仅当·＝×，即a＝b＝8时取等号．答案：A2．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　)A.，，B.，，C．1，，D．1，，解析：由柯西不等式得(22＋32＋42)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋4z)2，即x2＋y2＋z2≥.当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联立112017-2018学年高中数学人教A版选修4-5教学案可得x＝，y＝，z＝.答案：B3．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为(　　)A．4B．4C．6D．6解析：∵a，b，c为正数．∴＝≤a＋b.同理≤b＋c，≤c＋a，

18、相加得(＋＋)≤2(b＋c＋a)＝6，即＋＋≤6.当